Trước hết , ta khai triển vế trái , sau đó , nhóm các hạng tử .

\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=a^2c^2+b^2d^2+2abcd+a^2d^2+b^2c^2-2abcd\)

\(=\left(a^2c^2+a^2d^2\right)+\left(b^2c^2+b^2d^2\right)\)

\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)

\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

Vậy \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\left(ĐPCM\right)\)

\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\Leftrightarrow0=0\)Có điều này đúng nên ta có đpcm đúng

\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)

\(=\left(ac\right)^2+2acbd+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2-2adbc+bc^2\)

\(=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

Ta có: VP = (ac + bd)² + (ad - bc)² = a²c² + 2abcd + b²d² + a²d² - 2abcd + b²c²

= (a²c² + a²d² ) + (b²d²  + b²c²) = a²(c² + d²) + b²(c² + d²) = (a² + b²)(c² + d²) = VT

Vậy(a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad - bc)²

(CHÚ Ý: Bạn không nhất thiết phải viết VT và VP đâu nhé!

b) 

VP=(a+b)[(a-b)²+ab]

=(a+b)(a²-2ab+b²+ab)

=(a+b)(a²-ab+b²)

=a³+b³=VT

Vậy x³+y³=(a+b)[(a-b)²+ab]

c)

VP=(ac+bd)²+(ad-bc)²

=a²c²+2abcd+b²d²+a²d²-2abcd+b²c²

=a²c²+b²d²+a²d²+b²c²

=(a²c²+a²d²)+(b²d²+b²c²)

=a².(c²+d²)+b².(c²+d²)

=(a²+b²)(c²+d²)

Vậy (a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²+(ad-bc)²

tks mem trieu dang

\(a,\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)\(=\left(a^3+b^3\right)+\left(a^3-b^3\right)=2a^3\Rightarrowđpcm\)

\(b,\left(a+b\right)\left[\left(a-b\right)^2+ab\right]=\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2+ab\right)=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)\(=\left(a^3+b^3\right)\Rightarrowđpcm\)

\(c,\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=\left(a^2c^2+2abcd+b^2d^2\right)+\left(a^2d^2-2abcd+b^2c^2\right)\)\(=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\Rightarrowđpcm\)

a) (a+b)(a²-ab+b²)+(a-b)(a²+ab+b²)

= a³+b³+a³-b³ = 2a³

b) a³+b³

= (a+b)(a²-ab+b²)

= (a+b)(a²- 2ab+b²)+ab

= (a+b)(a²-b²)+ab

a. Biến đổi vế trái:

=>VT bằng VP (đpcm)

b. Biến đổi vế phải:

=>VP bằng VT (đpcm)

c. Biến đổi vế phải:

=>VP bằng VT (đpcm)

=(ac+bd)(ac+bd)+(ad-bc)(ad-bc)

=ac²+abcd+abcd+bd²+ad²-abcd-abcd+bc²

=a².c²+b².d²+a².d²+b².c²

=a²(c²+d²)+b²(d²+c²)=(a²+b²)(c²+d²)

chưa rõ ràng

chắc áp dụng định lý Lagrange và bất đẳng thức AM-GM

có thiếu ĐK nào k bạn ?

áp dụng BĐT cauchy :

\(\dfrac{b}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}+\dfrac{d}{\left(c+\sqrt{d}\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{bd}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2\left(c+\sqrt{d}\right)^2}}=\dfrac{2\sqrt{bd}}{\left(a+\sqrt{b}\right)\left(c+\sqrt{d}\right)}\)

việc còn lại cần chứng minh \(\left(a+\sqrt{b}\right)\left(c+\sqrt{d}\right)\le2\left(ac+\sqrt{bd}\right)\)(đúng theo BĐT chebyshev)(không mất tính tổng quát giả sừ \(a\le\sqrt{b};c\le\sqrt{d}\))

dấu = xảy ra khi \(a=\sqrt{b};c=\sqrt{d}\)

Lời giải:

Ba số thực $a,b,c$ cần có thêm điều kiện không âm mới đúng.

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$ab^3+bc^3+ca^3+2abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3+abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow abc(a+b+c)\leq a^3b+b^3c+c^3a(*)$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^3b+b^3c+c^3a)(abc^2+bca^2+cab^2)\geq (a^2bc+b^2ca+c^2ab)^2$

$\Rightarrow a^3b+b^3c+c^3a\geq abc(a+b+c)$

BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

SOS là ra, khá đơn giản. Ta có:

$$\text{VP}-\text{VT}=ab \left( -c+a \right) ^{2}+ca \left( b-c \right) ^{2}+cb \left( a-b
\right) ^{2}\geqq 0.$$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$