Vì p là số nguyên tố lớp hơn a nên p là số lẻ.

\(\Rightarrow\left(p+2015\right)\left(p+2017\right)⋮8\text{ }\)     (1)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng \(3k+1\) và \(3k+2\) \(\left(k\inℕ^∗\right)\)

+) Với \(p=3k+1\)

 \(\Rightarrow\left(p+2015\right)\left(p+2017\right)=\left(3k+2016\right)\left(3k+2018\right)⋮3\) (Vì \(3k⋮3\text{ };\text{ }2016⋮3\) ở số đầu tiên)     (2)

+) Với \(p=3k+2\)

\(\Rightarrow\left(p+2015\right)\left(p+2017\right)=\left(3k+2017\right)\left(3k+2019\right)⋮3\) (Vì \(3k⋮3\text{ };\text{ }2019⋮3\) nên số thứ hai chia hết cho 3   (3)

Từ (1) ; (2) và (3), suy ra \(\left(p+2015\right)\left(p+2017\right)⋮24\) (đpcm)

mình chỉ biết bài 4 thôi
Bài 4: Vì tổng bằng 1012 nên trong 3 số nguyên tố đó thì phải có 1 số nguyên tố là số chẵn. Nên số chẵn đó là 2 đồng thời là số nhỏ nhất. Vậy số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó

a,Do p là số nguyên tố >3=>p²=3k+1 =>p²-1 chi hết cho 3

Tương tự, ta được q²-1 chia hết cho 3

Suy ra: p²-q² chia hết cho 3(1)

Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p-1 và p+1 là 2 số chẵn liên tiếp=>(p-1)(p+1) chia hết cho 8<=>p²-1 chia hết cho 8

Do q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q-1 và q+1 là 2 số chẵn liên tiếp=>(q-1)(q+1) chia hết cho 8<=>q²-1 chia hết cho 8

Suy ra :p²-q² chia hết cho 8(2)

Từ (1) và (2) suy ra p^2-q^2 chia hết cho BCNN(8;3)<=> p^2-q^2 chia hết cho 24

a) Nếu n = 3k+1 thì  n 2 = (3k+1)(3k+1) hay  n 2  = 3k(3k+1)+3k+1

Rõ ràng  n 2  chia cho 3 dư 1

Nếu n = 3k+2 thì  n 2 = (3k+2)(3k+2)  hay  n 2 = 3k(3k+2)+2(3k+2) = 3k(3k+2)+6k+3+1 nên  n 2  chia cho 3 dư 1.

b) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3. Vậy p 2  chia cho 3 dư 1 tức là   p 2 = 3 k + 1  do đó  p 2 + 2003 = 3 k + 1 + 2003 = 3k+2004 ⋮ 3

Vậy p 2 + 2003  là hợp số

a) n không chia hết cho 3 => n chia cho 3 dư 1 hoặc 2

+) n chia cho 3 dư 1 : n = 3k + 1 => n2 = (3k +1).(3k +1) = 9k2 + 6k + 1 = 3.(3k2 + 2k) + 1 => n2 chia cho 3 dư 1

+) n chia cho 3 dư 2 => n = 3k + 2 => n2 = (3k +2).(3k+2) = 9k2 + 12k + 4 = 3.(3k2 + 4k +1) + 1 => n2 chia cho 3 dư 1

Vậy...

b) p là số nguyên tố > 3 => p lẻ => p2 lẻ => p2  + 2003 chẵn => p2 + 2003 là hợp số

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ

=> p+2015 và p+2017 là 2 số chẵn liên tiếp

=> (p+2015)(p+2017) chia hết cho 8(1)

mặt khác p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k+1 và 3k+2

Nếu p=3k+1 thì (p+2015)(p+2017)=(3k+1+2015)(3k+1+2017)=3(k+672)(3k+2018) chia hết cho 3=>(p+2015)(o+2017) chia hết cho 3(2)

Nếu p=3k+2 chứng minh tương tự ta đc (p+2015)(p+2017) chia hết cho 3(3)

Từ (1),(2),(3) => (p+20150(p+2017) chia hết cho 24

=> ĐPCM

tìm x sao cho 2^x  + 2^x+1 + 2^x+2 + 2^x+3  + ... +2^x+2015 = 2²⁰¹⁷ - 2

giải giúp mình với

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc 2 và p là số lẻ

=>p-1 là số chẵn và p+1 cũng là số chẵn

=>(p-1)(p+1) chia hết cho 2*4=8(Vì p-1 và p+1 là hai số chẵn liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 8)

=>\(p^2-1⋮8\)(1)

TH1: p=3k+1

\(p^2-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

\(=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)\)

\(=3k\cdot\left(3k+2\right)⋮3\)(2)

Từ (1),(2) suy ra \(p^2-1⋮BCNN\left(3;8\right)=24\)(4)

TH2: p=3k+2

\(p^2-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

\(=\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)\)

\(=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)⋮3\)(3)

Từ (1) và (3) suy ra \(p^2-1⋮BCNN\left(3;8\right)=24\)(5)

Từ (4) và (5) suy ra \(p^2-1⋮24\)

nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 \(\Rightarrow\) p không chia hết cho 3

p² không chia hết cho 3 ⇒ p² không chia hết cho 24; 

Vậy không tồn tại số nguyên tố nào thỏa mãn đề bài.