a)

(x-2)(y+1)=7

=> x-2 ; y+1 thuộc Ư(7)={-1,-7,1,7}

Ta có bảng:

Vậy ta chỉ có 2 cặp x,y thõa mãn điều kiện x>y; là (1,-8) và (9,0)

b)

3x+8 chia hết cho x-1

<=> 3x-3+11 chia hết cho x-1

<=> 3(x-1)+11 chia hết cho x-1

<=> 3(x-1) chia hết x-1; 11 chia hết cho x-1

=> x-1 \(\in\)Ư(11)={-1,-11,1,11}

<=>x\(\in\){0,-10,2,12}

Điều kiện của $x,y$ là gì? Bạn cần bổ sung thêm mới tính toán được

Theo bđt cauchy schwarz dang engel

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=5\)

Vậy ... 

a: \(\left(2x-y+7\right)^{2022}>=0\forall x,y\)

\(\left|x-1\right|^{2023}>=0\forall x\)

=>\(\left(2x-y+7\right)^{2022}+\left|x-1\right|^{2023}>=0\forall x,y\)

mà \(\left(2x-y+7\right)^{2022}+\left|x-1\right|^{2023}< =0\forall x,y\)

nên \(\left(2x-y+7\right)^{2022}+\left|x-1\right|^{2023}=0\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+7=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2x+7=9\end{matrix}\right.\)

\(P=x^{2023}+\left(y-10\right)^{2023}\)

\(=1^{2023}+\left(9-10\right)^{2023}\)

=1-1

=0

c: \(\left|x-3\right|>=0\forall x\)

=>\(\left|x-3\right|+2>=2\forall x\)

=>\(\left(\left|x-3\right|+2\right)^2>=4\forall x\)

mà \(\left|y+3\right|>=0\forall y\)

nên \(\left(\left|x-3\right|+2\right)^2+\left|y+3\right|>=4\forall x,y\)

=>\(P=\left(\left|x-3\right|+2\right)^2+\left|y-3\right|+2019>=4+2019=2023\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi x-3=0 và y-3=0

=>x=3 và y=3

Tìm GTLN:

Xét hiệu $2.(x^2+y^2)-(x+y)^2=2.(x^2+y^2)-x^2-y^2-2xy=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq 0$

Nên $(x+y)^2 \leq 2.(x^2+y^2)=2$ (do $x^2+y^2=1$)

Dấu $=$ xảy ra $⇔(x-y)^2=0;x^2+y^2=1⇔x=y;x^2+y^2=1⇔x=y=\dfrac{1}{\sqrt[]2}$

Tìm Min:

Có $(x+y)^2 \geq 0$ với mọi $x;y$

Dấu $=$ xảy ra $⇔(x+y)^2=0;x^2+y^2=0⇔x=-y;x^2+y^2=1⇔x=\dfrac{1}{\sqrt[]2};y=-\dfrac{1}{\sqrt[]2}$ và hoán vị

Ta có: \(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x-y\right)^2+10x-6y+8}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)+10x-6y+8\le2\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2+8\left(x-y\right)+8\le0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-y+2\right)^2\le0\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+1=y-1\\x-y+2=0\end{cases}\Leftrightarrow}y=x+2\)

Thế vào P ta được

\(P=x^4+\left(x+2\right)^2-5x-5\left(x+2\right)+2020\)

\(=x^4+2x^2-6x+2014\)

\(=\left(x^2-1\right)^2+3\left(x-1\right)^2+2010\ge2010\)

Vậy GTNN là  P = 2010 đạt được khi x = 1, y = 3

Ta có: √x+1+√y−1≤√2(x+y)

⇔√2(x−y)2+10x−6y+8≤√2(x+y)

⇔2(x−y)+10x−6y+8≤2(x+y)

⇔2(x−y)2+8(x−y)+8≤0

⇔2(x−y+2)2≤0

Dấu = xảy ra khi {

⇔y=x+2

Thế vào P ta được

P=x4+(x+2)2−5x−5(x+2)+2020

=x4+2x2−6x+2014

=(x2−1)2+3(x−1)2+2010≥2010

Vậy GTNN là  P = 2010 đạt được khi x = 1, y = 3

Thế vào P ta được 

\(P=x^4+x^2-6x+2014\) mới đúng

Theo bđt Cauchy schwarz dạng Engel 

\(P\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{1+1}=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]^2}{2}\)

Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(bđt phụ) 

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left[2.1+4\right]^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+\dfrac{1}{x}+2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+2y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=18\)

\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Cho mình hỏi bạn Nguyễn Huy Tú, hãy giải thích cho mình hiểu về bất đẳng thức Cauchy schawarz (Định lý, chứng minh,..). Đây là lần đầu tiên mình được nghe tên về bất đẳng thức này nên mong bạn giải thích dễ hiểu. Chúc bạn ngày một thành công hơn trong con đường học vấn của mình !