Cho tam giác cân ABC có đường cao A H = a 3 , B C = 3 a ,BC chứa trong mặt phẳng (P). Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P). Biết tam giác A’BC vuông tại A’. Gọi j là góc giữa (P) và (ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. φ = 30 o
B. φ = 45 o
C. cos φ = 2 3
D. φ = 60 o
Đáp án D
Ta có: B C ⊥ A A ' B C ⊥ A H
Do đó:
Mặt khác, tam giác A’BC vuông cân tại A’
nên A ' H = 1 2 B C = 3 a 2
Ta có:
⇒ φ = 60 o
Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao AH (H ∈ BC). Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây sai ?
A. S A ⊥ A B C
B. O ∈ S H
C. S A H ⊥ S B C
D. S B C , A B C ^ = S B A ^
Chọn D.
+) Ta có :
⇒ Suy ra : A đúng.
+) Ta có : 
⇒ Suy ra : C đúng.
+) Mặt khác : AH ⊥ CD nên:
⇒ Suy ra : D sai.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC=2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA=3a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Tính sin.
A. sin α = 1 3
B. sin α = 4138 120
C. sin α = 13 7
D. sin α = 7 5
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, A B = a , A C = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, A ' H = a 3 . Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng A’B và B’C. Tính c o s φ .
A. c o s φ = 1 2 .
B. c o s φ = 6 8 .
C. c o s φ = 6 4 .
D. c o s φ = 3 2 .
Đáp án B.
Phương pháp:
Sử dụng công thức Côsin:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A
Cách giải:
Dựng hình bình hành ABCD (tâm I). Khi đó, A’B’CD là hình bình hành (do A ' B ' → = A B → = D C → )
⇒ A ' D / / B ' C ⇒ A ' B ; B ' C = A ' B ; A ' D
Tam giác ABC vuông tại A
⇒ B C = A B 2 + A C 2 = a 2 + a 3 2 = 2 a
H là trung điểm của BC
⇒ H B = H C = a
Tam giác A’BH vuông tại H
⇒ A ' B = A ' H 2 + H B 2 = a 3 2 + a 2 = 2 a
Tam giác ABC vuông tại A
⇒ cos A B C = A B B C = a 2 a = 1 2
ABCD là hình bình hành
⇒ A B / / C D ⇒ D C B = 180 0 − A B C ⇒ cos D C B = − c osABC=- 1 2
Tam giác BCD:
B D = B C 2 + C D 2 − 2 B C . C D . cos D C B = 2 a 2 + a 2 − 2.2 a . a . − 1 2 = a 7
Tam giác CDH:
D H = C H 2 + C D 2 − 2 C H . C D . cos D C B = a 2 + a 2 − 2 a . a . − 1 2 = a 3
Tam giác A’DH vuông tại H:
A ' D = A ' H 2 + H D 2 = a 3 2 + a 3 2 = a 6
Tam giác A’BH:
cosBA ' D = A ' D 2 + A ' B 2 − B D 2 2 A ' D . A ' B = a 6 2 + 2 a 2 − 7 a 2 2. a 6 .2 a = 3 4 6 = 6 8 .
Gọi HH là trung điểm của BCBC suy ra
SH⊥(ABC)⇒SH=√SB2−BH2=a√3\2
ˆ(SA,(ABC))=ˆ(SA,HA)=ˆSAH=α
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, SA=a. Gọi H là hình chiếu của A trên SB . Khoảng cách giữa AH và BC bằng:
A. a 2 2
B. a
C. a 2
D. a 3 2
Đáp án A
Do B C ⊥ S A B C ⊥ A B ⇒ B C ⊥ S A B . Khi đó H B ⊥ B C lại có: H B ⊥ A H ⇒ d A H ; B C = H B
Tam giác SAB vuông cân tại A nên A B H ⏜ = 45 ∘ .
Do vậy H B = a cos A B H ⏜ = a 2 2 .
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, SA=a Gọi H là hình chiếu của A trên SB . Khoảng cách giữa AH và BC bằng:
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, HA' = a 5 Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng A'B và B'C.
Tính cos φ
A.cos φ = 7 3 48
B. cos φ = 3 2
C. cos φ = 1 2
D. cos φ = 7 3 24
Chọn D
Gọi N, K là trung điểm của BB', A'B'
Ta tính được
Áp dụng định lí hàm cosin ta suy ra
Cách 2. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với
