Cho chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a, SA=\(a\sqrt{3}\), SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC ?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 2a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
A. 60 o
B. 90 o
C. 30 o
D. 45 o
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Đáp án A
Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Ta có S A ⊥ A B C D ⇒ S A ⊥ B D . Lại có A C ⊥ B D (tính chất hình vuông).
Suy ra B D ⊥ S A C . Do đó hình chiếu của SB trên (SAC) là SI. Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) là góc giữa SB và SI, tức là góc ISB (do tam giác ISB vuông tại I nên I S B ^ là góc nhọn). Ta có:
S B = S A 2 + A B 2 = a 2 + a 2 = a 2 , I B = B D 2 = A 2 2
D o đ ó sin I S B = I B S B = 1 2 ⇒ I S B = 30 °
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Đáp án A.
Cách 1: Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Ta có S A ⊥ A B C D ⇒ S A ⊥ B D . Lại có A C ⊥ B D (tính chất hình vuông).
Suy ra B D ⊥ S A C . Do đó hình chiếu của SB trên S A C là SI. Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng S A C là góc giữa SB và SI, tức là góc I S B ^ (do tam giác ISB vuông tại I nên I S B ^ là góc nhọn). Ta có:
S B = S A 2 + A B 2 = a 2 + a 2 = a 2 , I B = B D 2 = a 2 2
Do đó
sin I S B ^ = I B S B = 1 2 ⇒ I S B ^ = 30 °
Cách 2: (Phương pháp tọa độ hóa) Không mất tổng quát, gán tọa độ như sau:
A 0 ; 0 ; 0 , B 1 ; 0 ; 0 , D 0 ; 1 ; 0 , S 0 ; 0 ; 1 Khi đó C 1 ; 1 ; 0 .
Ta có S A → = 0 ; 0 ; − 1 , S C → = 1 ; 1 ; − 1 , S B → = 1 ; 0 ; − 1
Đặt n → = S A → , S C → = 1 ; − 1 ; 0 . Khi đó n → là một VTPT của S A C .
Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng S A C , β là góc giữa vecto n → và vecto S B → . Ta có
sin α = cos β = n → . S B → n → . S B → = 1 2 . 2 = 1 2 ⇒ α = 30 °
Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy hình thoi cạnh a, ABC =60°, SA vuông góc mặt phẳng đáy là SA=\(a\sqrt{3}\). Tính góc giữa (SBC) và (ABCD) ?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA \( \bot \) (ABCD) và \(SA = a\sqrt 2 .\)
a) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
b) Tính góc giữa BD và mặt phẳng (SAC).
c) Tìm hình chiếu của SB trên mặt phẳng (SAC).
a) A là hình chiếu của S trên (ABCD) \(\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\)
C là hình chiếu của C trên (ABCD)
\( \Rightarrow \) AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
\( \Rightarrow \) \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\)
Xét tam giác ABC vuông tại B có
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \)
Xét tam giác SAC vuông tại A có
\(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 2 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^0}\)
Vậy \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = {45^0}\)
b) \(\left. \begin{array}{l}AC \bot BD\left( {hv\,\,ABCD} \right)\\SA \bot BD\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\AC \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {BD,\left( {SAC} \right)} \right) = {90^0}\)
c) Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\) mà \(BD \bot \left( {SAC} \right)\)
\( \Rightarrow \) O là hình chiếu của B trên (SAC)
S là hình chiếu của S trên (SAC)
\( \Rightarrow \) SO là hình chiếu của SB trên (SAC).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng A B C D v à S A = a 6 . Gọi a là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC). Tính sin α ta được kết quả là:
A. 1 14
B. 2 2
C. 3 2
D. 1 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh SA = a, vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a 6 . Gọi a là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC). Tính sin α ta được kết quả là
A. 1 14
B. 2 2
C. 3 2
D. 1 5
Đáp án A
Ta có: B D ⊥ A C B D ⊥ S A ⇒ B D ⊥ ( S A C )
Gọi O = A C ∩ B D ⇒ S B ; S A C ^ = B S O ^
Trong đó sin B S O ^ = O B S B = a 2 2 S A 2 + A B 2 = 1 14
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy và SA = 2a. Tính cosin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD)
A. 5 5
B. 2 5 5
C. 1 2
D. 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a 6 . Gọi a là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC). Tính sin α ta được kết quả là:
A. 1 14
B. 2 2
C. 3 2
D. 1 5