Bước 1: Mở trang Geoebra

Bước 2: Nhập bất phương trình \(x - 2y + 3 \le 0\) vào ô

Và bấm enter, màn hình sẽ hiển thị như hình dưới. Miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2y + 3 \le 0\) là miền được tô màu. Đường nét liền biểu thị miền nghiệm chứa các điểm nằm trên đường thẳng \(x - 2y + 3 = 0\).

Bước 3: Tiếp tục nhập từng bất phương trình còn lại như sau:

x+3y>-2; \(x \le 0\)(x<=0). Khi đó màn hình sẽ hiển thị như hình dưới.

Miền nghiệm của hệ là miền được tô màu đậm nhất. Đường nét đứt biểu thị miền nghiệm không chứa các điểm nằm trên đường thẳng \(x + 3y =  - 2\). Đường nét liền \(x = 0\) (trục Oy) biểu thị các điểm nằm trên trục Oy cũng thuộc miền nghiệm.

a, ĐK: \(cos\left(x\right)\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D=R\backslash\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\right\}\)

b, ĐK: \(cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\ne0\Leftrightarrow x+\dfrac{\pi}{4}\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=R\backslash\left\{\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in Z\right\}\)

c, ĐK: \(2-sin^2\left(x\right)\ne0\Leftrightarrow sin^2\left(x\right)\ne2\)

Vì \(0\le sin^2\left(x\right)\le1\Rightarrow sin^2\left(x\right)\ne2\forall x\) 

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=R\)

a) Hai bất phương trình bài cho là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) (1; 1) là một nghiệm chung của hai BPT (1) và (2) vì:

Thay x=1;y=1 vào (1) ta được: 1-1<3 (Luôn đúng)

Thay x=1; y=1 vào (2) ta được: 1+2.1>-2 (Luôn đúng)

Vẽ đường thẳng \(3x - y =  - 3\) (nét đứt)

Thay tọa độ O vào \(3x - y >  - 3\) ta được \(3.0 - 0 >  - 3\) (Đúng)

Gạch đi phần không chứa O

Vẽ đường thẳng \( - 2x + 3y = 6\) (nét đứt)

Thay tọa độ O vào \( - 2x + 3y < 6\) ta được \( - 2.0 + 3.0 < 6\) (Đúng)

Gạch đi phần không chứa O

Vẽ đường thẳng \(2x + y =  - 4\)(nét đứt)

Thay tọa độ O vào \(2x + y >  - 4\) ta được \(2.0 + 0 >  - 4\) (Đúng)

Gạch đi phần không chứa O

Miền nghiệm của hệ là phần không bị gạch chéo:

Thay x=1; y=1 vào 3 bất phương trình ta được:

\(2.1 + 1 > 0\) (Đúng)

\(1 - 3.1 < 6\) (Đúng)

\(1 - 1 \ge  - 4\) (Đúng)

Vậy (1;1) là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

a)

Xác định miền nghiệm của BPT \(y - x <  - 1\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(y-x=  - 1\) đi qua A(1;0) và B(0;-1)

+ Vì \(0-0= 0 > - 1\) nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn BPT \(y - x <  - 1\)

Do đó, miền nghiệm của BPT \(y - x <  - 1\) là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm của BPT \(x > 0\) là nửa mặt phẳng bên phải Oy (không kể trục Oy).

Miền nghiệm của BPT \(y < 0\) là nửa mặt phẳng dưới Ox (không kể trục Ox).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền không gạch (Không kể đoạn thẳng AB và các trục tọa độ).

b)

Miền nghiệm của BPT \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) (kể cả trục Oy).

Miền nghiệm của BPT \(y \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) (kể cả trục Ox).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 4\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(2x + y = 4\) đi qua A(2;0) và B(0;4)

+ Vì \(2.0 + 0 = 0 < 4\) nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn BPT \(2x + y \le 4\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y \le 4\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác OAB (kể cả các đoạn thẳng OA, OB, AB).

c)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bên phải Oy (kể cả trục Oy).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y > 5\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(x + y = 5\)

+ Vì \(0 + 0 = 0 < 5\) nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình \(x + y > 5\).

Do đó, miền nghiệm của BPT \(x + y > 5\) là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x - y < 0\)

+ Vẽ đường thẳng d: \(x - y = 0\)

+ Vì \(1 - 0 = 1 > 0\) nên tọa độ điểm (1;0) không thỏa mãn bất phương trình \(x - y < 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x - y < 0\) là nửa mặt phẳng bờ d’ không chứa điểm (1;0).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền màu trắng (không kể d và d’)

Tham khảo:

Vẽ đường thẳng \(d:x - 2y = 0\) đi qua hai điểm \(O(0;0)\) và \(B\left( {2;1} \right)\)

Xét điểm \(A(1;0).\) Ta thấy \(A \notin \Delta \) và \(1 - 2.0 =  1> 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ \(d\), chứa điểm A

(miền không gạch chéo trên hình)

Vẽ đường thẳng \(d':x + 3y = 3\) đi qua hai điểm \(A'(0;1)\) và \(B'\left( {3;0} \right)\)

Xét gốc tọa độ \(O(0;0).\) Ta thấy \(O \notin \Delta \) và \(0 + 3.0 = 0 < 3\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ \(d'\), chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

Vậy miền không gạch chéo trong hình trên là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

(1;1) không thuộc miền nghiệm vì 1+1=2>2 (Vô lý) => Loại A

(2;0) không thuộc miền nghiệm vì 2+0=2>2 (Vô lý) => Loại B

(3;2) thuộc miền nghiệm vì: 3+2 =5 > 2 (đúng) và \(3 - 2 = 1 \ge 1\) (đúng)

(3;-2) không thuộc miền nghiệm vì 3+ (-2)=1>2 (Vô lý) => Loại D

Chọn C.

a) Trong cùng mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ ba đường thẳng:

\({d_1}:x - 2y =  - 2\);

\({d_2}:7x - 4y = 16\)

\({d_3}:2x + y =  - 4\)

Thay tọa độ điểm O vào \(x - 2y\) ta được:

\(0 - 2.0 = 0 \ge  - 2\)

=> Điểm O thuộc miền nghiệm

=> Gạch phần không chứa điểm O.

Thay tọa độ điểm O vào \(7x - 4y\) ta được:

\(7.0 - 4.0 = 0 \le 16\)

=> Điểm O thuộc miền nghiệm

=> Gạch phần không chứa điểm O.

Thay tọa độ điểm O vào \(2x + y\)  ta được:

\(2.0 + 0 = 0 \ge  - 4\)

=> Điểm O thuộc miền nghiệm

=> Gạch phần không chứa điểm O.

b)

Miền nghiệm của hệ là phần không bị gạch bỏ chung của cả 3 miền nghiệm trên.

Chú ý

Ở câu a, có thể thay điểm O bằng các điểm khác.