Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’. Chứng minh rằng AMC.A’M’C’ là hình lăng trụ.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.
a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’.
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M.
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mp(AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
a) Do ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ta có: BCC’B’ là hình bình hành
Xét tứ giác BCC’B’ có M và M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ nên MM’ là đường trung bình
Lại có: AA’// BB’ và AA’= BB’ ( tính chất hình lăng trụ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MM’// AA’ và MM’ = AA’
=> Tứ giác AMM’A’ là hình bình hành
b) Trong (AMM’A’) gọi O = A’M ∩ AM’, ta có :
Ta có : O ∈ AM’ ⊂ (AB’C’)
⇒ O = A’M ∩ (AB’C’).
c)
Gọi K = AB’ ∩ BA’, ta có :
K ∈ AB’ ⊂ (AB’C’)
K ∈ BA’ ⊂ (BA’C’)
⇒ K ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)
Dễ dàng nhận thấy C’ ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)
⇒ (AB’C’) ∩ (BA’C’) = KC’.
Vậy d cần tìm là đường thẳng KC’
d) Trong mp(AB’C’), gọi C’K ∩ AM’ = G.
Ta có: G ∈ AM’ ⊂ (AM’M)
G ∈ C’K.
⇒ G = (AM’M) ∩ C’K.
+ K = AB’ ∩ A’B là hai đường chéo của hình bình hành ABB’A’
⇒ K là trung điểm AB’.
ΔAB’C’ có G là giao điểm của 2 trung tuyến AM’ và C’K
⇒ G là trọng tâm ΔAB’C’.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy M, M’ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B’C’; lấy các điểm G, G’, K lần lượt thuộc các đoạn AM, A’M’, A’B sao cho `(AG)/(AM)=(A′G′)/(A′M′)=(A′K)/(A′B)=23`
a) Chứng minh rằng CM’ // (A’BM’)
b) Chứng minh rằng G’K // (BCC’B’)
c) Chứng minh rằng (GG’K) // (BCC’B’)
d) Gọi(α)
là mặt phẳng đi qua K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng(α)
cắt cạnh CC’ tại điểm I. Tính `(IC)/(IC′)`
a) Ta có: MBM'C' là hình bình hành nên C'M // BM'
Mà BM' thuộc (A'BM')
Suy ra: C'M // (A'BM')
b) △A'BM' có: \(\dfrac{A'K}{A'B}=\dfrac{A'G'}{A'M'}=\dfrac{2}{3}\)
Nên G'K // BM' mà BM' thuộc (BCC'B')
Suy ra: G'K // (BCC'B')
c) Hình bình hành AMM'A' có: GG' // MM'
Mà MM' thuộc (BCC'B')
Suy ra: GG' // (BCC'B')
Mà G'K // (BCC'B')
Do đó: (GG'K) // (BCC'B')
d) Trong mp(ABB’A’), vẽ đường thẳng qua K và song song với AB, A’B’; cắt A’A và B’B lần lượt tại J và H.
Trong mp (ACC’A”), vẽ đường thẳng qua J và song song với AC, A’C’; cắt C’C tại I.
Ta có: IJ // AC mà AC ⊂ (ABC) nên IJ // (ABC);
JK // AB mà AB ⊂ (ABC) nên JK // (ABC).
Lại có IJ và JK cắt nhau tại J và cùng nằm trong mp(IJK) nên (IJK) // (ABC).
Theo bài, mp(α) // (ABC) và đi qua K nên mp(α) chính là mp(IJK).
Khi đó CC’ cắt (α) tại I.
Ta có: (IJK) // (ABC) mà (ABC) // (A’B’C’) nên (A’B’C’), (IJK), (ABC) là ba mặt phẳng song song với nhau.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’, BB’, CC’. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC).
Ta có: ABB'A' là hình bình hành, M, N là trung điểm của AA', BB' nên MN // AB (đường trung bình) suy ra MN // (ABC).
Tương tự, ta có NP // BC suy ra NP// (ABC).
Mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN, NP và MN, NP song song với mp(ABC) suy ra (MNP) //(ABC).
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh bằng a và chiều cao bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và A’C’
A. 2a
B. a 3
C. a
D. a
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh bằng a và chiều cao bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và A’C’
A. 2a
B. a 3
C. a
D. a 2
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’.
a) Chứng minh rằng tứ giác AGG’A’ là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng AGC.A’G’C’ là hình lăng trụ.
a) Ta có ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên \(\Delta ABC = \Delta A'B'C'\) suy ra AG = A'G'.
Lại có (ABC) // (A'B'C'), giao tuyến của mp(AGG'A') với (ABC) và (A'B'C') lần lượt là AG, A'G' suy ra AG // A'G'.
Như vậy , tứ giác AGG'A' có AG = A'G', AG // A'G' là hình bình hành.
b) AGG'A' là hình bình hành suy ta AA' // GG'.
Lại có AA' // CC' (do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ).
Mặt phẳng (AGC) // (A'G'C') suy ra AGC.A'G'C' là hình lăng trụ.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C‘. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và A’B‘.
a) Chứng minh rằng EF // (BCC’B’)
b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng CF với mặt phẳng (AC’B). Chứng minh rằng I là trung điểm đoạn thẳng CF.
a) Gọi H là trung điểm của BC
△ABC có: E là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC
Suy ra: EH // AB
Mà AB // A'B'
Do đó: EH // A'B' hay EH // B'F (1)
Ta có: EH // AB nên \(\dfrac{EH}{AB}=\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{1}{2}\)
Mà AB = A'B', B'F = \(\dfrac{1}{2}\) A'B'
Nên: EH = B'F (2)
(1)(2) suy ra: EHB'F là hình bình hành. Do đó: EF // B'H
Mà B'H thuộc (BCC'B')
Suy ra: EF // (BCC'B')
b) Gọi K là trung điểm AB
Dễ dàng chứng minh được FKBB' là hình bình hành
Ta có: FK // BB'
Mà BB' // CC'
Suy ra: FK // CC' (1)
Ta có: FK = BB', mà BB' = CC'
Do đó: FK = CC' (2)
(1)(2) suy ra FKCC' là hình bình hành
Mà hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Nên C'K cắt CF tại trung điểm của hai đường thẳng
mà C'K thuộc (AC'B) , CF cắt (AC'B) tại I (đề bài)
Do đó: I là trung điểm của CF.
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’. Gọi M, M’, I lần lượt là trung điểm của BC, B’C’ và AM. Khoảng cách giữa đường thẳng BB’ và mp(AMM’A’) bằng độ dài đoạn thẳng:
A. BM’
B. BI
C. BM
D. BA
Đáp án C
Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên B C ⊥ B B ’ , tam giác ABC là tam giác đều ⇒ A M ⊥ B C .
Mặt khác vì M và M’ là trung điểm của BC và B’C’ nên MM’BB’, suy ra B C ⊥ M M ’ . Từ đó ta được B C ⊥ ( A M M ’ A ’ ) và B B ’ | | A M M ’ A ’ . Vậy khoảng cách giữa đường thẳng BB’ và mp(AMM’A’) bằng khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMM’A’), hay là bằng độ dài đoạn thẳng BM
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’. Gọi M, M’, I lần lượt là trung điểm của BC, B’C’ và AM. Khoảng cách giữa đường thẳng BB’ và mp (AMM’A’) bằng độ dài đoạn thẳng:
A. BM’
B. BI
C. BM
D. BA