Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD nên MN, NP, MP lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC, ACD, ABD

⇒ MN//BC, NP//CD, PM //BD

Mà BC, CD, BD thuộc (BCD)

MN, NP, PM không thuộc (BCD)

⇒ Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD)

a) Ta có AM cắt (BCD) tại C suy ra AM không song song với (BCD).

b) M, N là trung điểm của AC, AD nên MN là đường trung bình của tam giác ACD suy ra MN // CD.

Mà CD thuộc (BCD) nên MN // mp(BCD).

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}MN = \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC} \right)\\PQ = \left( \alpha  \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\BC = \left( {ABC} \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\MN\parallel BC\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MN\parallel PQ\parallel BC\) (1).

\(\begin{array}{l}MQ = \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABD} \right)\\NP = \left( \alpha  \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\A{\rm{D}} = \left( {ABD} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\MQ\parallel A{\rm{D}}\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MQ\parallel NP\parallel A{\rm{D}}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(MNPQ\) là hình bình hành.

b) Để \(MNPQ\) là hình thoi thì \(MN = NP\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}MN\parallel BC \Rightarrow \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}\\NP\parallel A{\rm{D}} \Rightarrow \frac{{NP}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{MN}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{AC}}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AN}}{{AC}} + \frac{{CN}}{{AC}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{MN}}{{A{\rm{D}}}} = 1 \Leftrightarrow MN.\left( {\frac{1}{{BC}} + \frac{1}{{A{\rm{D}}}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow MN.\frac{{BC + A{\rm{D}}}}{{BC.A{\rm{D}}}} = 1 \Leftrightarrow MN = \frac{{BC.A{\rm{D}}}}{{BC + A{\rm{D}}}}\end{array}\)

Vậy nếu \(MN = \frac{{BC.A{\rm{D}}}}{{BC + A{\rm{D}}}}\) thì \(MNPQ\) là hình thoi.

a) Trong (ABN): AG BN = A' => A' BN, BN (BCD) => A' (BCD) => A' = AG (BCD).

b) Chứng minh M' thuộc giao tuến A'B của (ABA') và (DBC)

c) Chứng minh GA' = MM' = AA' => đpcm

Đáp án A

a) Trong mp(ABD): MP không song song với BD nên MP ∩ BD = E.

E ∈ MP ⇒ E ∈ (PMN)

E ∈ BD ⇒ E ∈ (BCD)

⇒ E ∈ (PMN) ∩ (BCD)

Dễ dàng nhận thấy N ∈ (PMN) ∩ (BCD)

⇒ EN = (PMN) ∩ (BCD)

b) Trong mp(BCD) : gọi giao điểm EN và BC là F.

F ∈ EN, mà EN ⊂ (PMN) ⇒ F ∈ (PMN)

⇒ F = (PMN) ∩ BC.

a) Có: MN ⊂ (ABN)

⇒ G ∈ (ABN)

⇒ AG ⊂ (ABN).

Trong (ABN), gọi A’ = AG ∩ BN.

⇒ A’ ∈ BN ⊂ (BCD)

⇒ A’ = AG ∩ (BCD).

b) + Mx // AA’ ⊂ (ABN) ; M ∈ (ABN)

⇒ Mx ⊂ (ABN).

M’ = Mx ∩ (BCD)

⇒ M’ nằm trên giao tuyến của (ABN) và (BCD) chính là đường thẳng BN.

⇒ B; M’; A’ thẳng hàng.

⇒ BM’ = M’A’ = A’N.

c) Áp dụng chứng minh câu b ta có:

ΔMM’N có: MM’ = 2.GA’

ΔBAA’ có: AA’ = 2.MM’

⇒ AA’ = 4.GA’

⇒ GA = 3.GA’.

Đáp án A

Giả sử tứ diện ABCD có AB;AC'AD đội một vuông góc  ⇒ V A B C D = A B . A C . A D 6

Khi đó tứ diện MNPQ có MN;MP;MQ đội một vuông góc  ⇒ V M . N P Q = M N . M P . M Q 6

Ta chứng minh được M N A B + M P A C + M Q A D = 1  ( dựa vào định lý Thalet), khi đó

M N . M P . M Q = A B . A C . A D . M N A B . M P A C . M Q A D ≤ A B . A C . A D . M N A B + M P A C + M Q A D 3 27 = A B . A C . A D 27

Vậy  V M . N P Q = M N . M P . M Q 6 ≤ 1 27 . A B . A C . A D 6 = V 27 → V max = V 27