Cho pt \(x^2\)-mx-1=0
a) c/m pt 1 luôn có 2 nghiệm trái dấu
b) gọi \(x_{1,_{ }}x_2\)là các nghiệm của pt 1
Cho pt x^2-mx-1=0 a) chứng minh pt có 2 nghiệm trái dấu b) gọi x1,x2 là các nghiệm của pt 1 Tính giá trị của biểu thức P= x1^2+x1-1/x1 - x2^2+x2-1/x2
Pt \(x^{^{ }2}-mx-1=0\)
a,Giải khi m=2
b,Tìm m để pt có nghiệm x=2, tìm nghiệm t2
c,C/m pt luôn có 2 nghiệm
d,Tinh \(P=\dfrac{x^2_1+x_1-1}{x_2}+\dfrac{x^2_2-x_2-1}{x_2}\)
a, b bạn tự giải
c. \(\Delta=m^2+4>0;\forall m\Rightarrow\) pt luôn có nghiệm
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)
Ồ, đề câu d bạn ghi sai, 2 mẫu số phải có 1 cái là \(x_1\)
1 Cho pt:\(x^2+2mx-3m^2=0\).Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1< 1< x_2\)
2 Tìm m để pt sau có 2 nghiệm cùng dấu,khi đó 2 nghiệm mang dấu gì?
a)\(x^2-2mx+5m-4=0\)
b)\(mx^2+mx+3=0\)
3 Tìm m để pt \(\left(m+1\right)x^2+mx+3=0\) có 2 nghiệm cùng lớn hơn -1
Giúp em với huhu :<,bài nào cũng đc ạ,em cảm ơn!
3.
Phương trình có 2 nghiệm khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\\Delta=m^2-12\left(m+1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\\left[{}\begin{matrix}m\ge6+4\sqrt{3}\\m\le6-4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) (1)
Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{m}{m+1}\\x_1x_2=\dfrac{3}{m+1}\end{matrix}\right.\)
Hai nghiệm cùng lớn hơn -1 \(\Rightarrow-1< x_1\le x_2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2+x_1+x_1+1>0\\x_1+x_2>-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{m+1}-\dfrac{m}{m+1}+1>0\\-\dfrac{m}{m+1}>-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{m+1}>0\\\dfrac{m+2}{m+1}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left[{}\begin{matrix}m>-1\\m< -2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>-1\)
Kết hợp (1) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1< m< 6-4\sqrt{3}\\m\ge6+4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Những bài này đều là dạng toán lớp 10, thi lớp 9 chắc chắn sẽ không gặp phải
1. Có 2 cách giải:
C1: đặt \(f\left(x\right)=x^2+2mx-3m^2\)
\(x_1< 1< x_2\Leftrightarrow1.f\left(1\right)< 0\Leftrightarrow1+2m-3m^2< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
C2: \(\Delta'=4m^2\ge0\) nên pt luôn có 2 nghiệm
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=-3m^2\end{matrix}\right.\)
\(x_1< 1< x_2\Leftrightarrow\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1< 0\)
\(\Leftrightarrow-3m^2+2m+1< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
2.
a. Pt có 2 nghiệm cùng dấu khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-5m+4\ge0\\x_1x_2=5m-4>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\ge4\\m\le1\end{matrix}\right.\\m>\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge4\\\dfrac{4}{5}< m\le1\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(x_1+x_2=2m>2.\dfrac{4}{5}>0\) nên 2 nghiệm cùng dương
b. Pt có 2 nghiệm cùng dấu khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta=m^2-12m\ge0\\x_1x_2=\dfrac{3}{m}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\ge12\\m\le0\end{matrix}\right.\\m>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge12\)
Khi đó \(x_1+x_2=-1< 0\) nên 2 nghiệm cùng âm
cho pt x²-(2m-1)x+m-1=0 . a Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . b Tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu . c Tìm m để pt có 2 nghiệm cùng dấu
a: \(\text{Δ}=\left(2m-1\right)^2-4\left(m-1\right)\)
\(=4m^2-4m+1-4m+4=4m^2-8m+5\)
\(=\left(4m^2-8m+4\right)+5=4\left(m-1\right)^2+5>0\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì m-1<0
hay m<1
`mx^2 -2(m+1)x+1-3m=0`
1. CMR: PT đã cho luôn có nghiệm với mọi m
2. Với x khác 0, `x_1 ;x_2` là 2 nghiệm phân biệt của PT. Tìm min \(x_1^2+x_2^2\)
1:Phương trình luôn có nghiệm với mọi m<>0
Sửa đề: Chứng minh
TH1: m=0
Phương trình sẽ trở thành \(0x^2-2\left(0+1\right)x+1-3\cdot0=0\)
=>1=0(vô lý)
TH2: m<>0
\(\Delta=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\cdot m\cdot\left(1-3m\right)\)
\(=4\left(m+1\right)^2-4m+12m^2\)
\(=4m^2+8m+4-4m+12m^2\)
\(=16m^2+4m+4\)
\(=16\left(m^2+\dfrac{1}{4}m+\dfrac{1}{4}\right)\)
\(=16\left(m^2+2\cdot m\cdot\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{15}{64}\right)\)
\(=16\left(m+\dfrac{1}{8}\right)^2+\dfrac{15}{4}>=\dfrac{15}{4}>0\forall m\)
=>Phương trình luôn có nghiệm với mọi m<>0
2: Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left[-2\left(m+1\right)\right]}{m}=\dfrac{2m+2}{m}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1-3m}{m}\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(=\left(\dfrac{2m+2}{m}\right)^2-2\cdot\dfrac{1-3m}{m}\)
\(=\dfrac{4m^2+8m+4}{m^2}+\dfrac{6m-2}{m}\)
\(=\dfrac{4m^2+8m+4+6m^2-2m}{m^2}\)
\(=\dfrac{10m^2+6m+4}{m^2}\)
\(=10+\dfrac{6}{m}+\dfrac{4}{m^2}\)
\(=\left(\dfrac{2}{m}\right)^2+2\cdot\dfrac{2}{m}\cdot1,5+2,25+7,75\)
\(=\left(\dfrac{2}{m}+1,5\right)^2+7,75>=7,75\forall m\ne0\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\dfrac{2}{m}+1,5=0\)
=>\(\dfrac{2}{m}=-1,5\)
=>\(m=-\dfrac{2}{1,5}=-\dfrac{4}{3}\)
Với \(m=0\) pt có nghiệm
Với \(m\ne0\)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m\left(1-3m\right)=4m^2+m+1=\left(m+\dfrac{1}{8}\right)^2+\dfrac{15}{16}>0;\forall m\)
Pt luôn có nghiệm với mọi m
b. Câu này chắc đề đúng là "với m khác 0"
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{m}\\x_1x_2=\dfrac{1-3m}{m}\end{matrix}\right.\)
\(P=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{m^2}-\dfrac{2\left(1-3m\right)}{m}\)
\(=\dfrac{10m^2+6m+4}{m^2}=\dfrac{4}{m^2}+\dfrac{6}{m}+10\)
\(=4\left(\dfrac{1}{m}+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{31}{4}\ge\dfrac{31}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=-\dfrac{4}{3}\)
Cho PT \(2x^2-3mx-2=0\)
a. Cm: PT luôn có 2 nghiệm mọi m
b. Gọi \(x_1\) \(x_2\) là nghiệm của PT. Tính GTNN của \(x^{2_1}+x^{2_2}=S\)
c.Tính \(\frac{1}{x_{1^3}}+\frac{1}{x_{2^3}}\) theo m
a/ C1: Do ac=2.(-2)<0 => pt luôn có 2 ng phân biệt
C2: \(\Delta=\left(-3m\right)^2-4.2.\left(-2\right)\)
\(=9m^2+16\ge16\)
=> pt luôn có 2 ng phân biệt
b/ Có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{3m}{2}\\x_1.x_2=-1\end{cases}}\) (vi-et)
\(\Rightarrow x+x=\left(x+x\right)^2-2xx\)
\(=\left(\frac{3m}{2}\right)^2-2.\left(-1\right)\)
\(=\frac{9m^2}{4}+2\ge2\)
Vậy min=2 <=> m=0
c\(\frac{1}{x_1^3}+\frac{1}{x_2^3}=\frac{x^3_1+x^3_2}{x^3_1x^3_2}\)
= \(\frac{\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)}{x_1^3x_2^3}\)
\(=\frac{\left(\frac{3m}{2}\right)^2-3\left(-1\right)\left(\frac{3m}{2}\right)}{\left(-1\right)^3}\)
\(=\frac{\frac{9m^2}{4}+\frac{9m}{2}}{-1}\)
\(=\frac{\frac{9m^2}{4}+\frac{18m}{4}}{-1}\)
\(=\frac{9m^2+18m}{-4}\)
Cho pt:x2-mx- 1=0 (x là ẩn số)
a. Chứng minh pt trên luôn có 2 nghiệm phân biệt
b. Chứng minh pt trên luôn có 2 nghiệm trái dấu
c. Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của pt trên
Tính giá trị của biểu thức :
P=x12+x1-1/x1 × x22+x2-1/x2
cho pt x2- 2(m-1)x -m-2 = 0
a , chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
b, gọi x1x2 là hai nghiệm của pt lập hệ thức liên hệ giửa x1x2 không phụ thuộc m
c, tìm để (1) có 2 nghiện trái dấu
1. Giải phương trình \(\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=\)3-9x
2. Cho phương trình \(mx^2-2\left(m-1\right)x+2=0\) (*)
a. Xác định các hệ số. Điều kiện để (*) là PT bậc 2
b. Giải PT khi m=1
c. Tìm m để PT có nghiệm kép.
3. Cho PT \(x^2-2\left(a-2\right)x+2a+3=0\)
a. Giải PT với a=-1
b. Tìm a để PT có nghiệm kép
4. Cho PT \(x^2-mx+m-1=0\) (ẩn x, tham số m)
a. Giải PT khi m=3
b. Chứng tỏ PT có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
c. Đặt A=\(x_{1^2}+x_{2^2}-6x_1x_2\) . Tính giá trị nhỏ nhất của A
5. Cho PT \(x^2+2mx-2m^2=0\). Tìm m để PT có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1+x2 = x1.x2