a) Xét tứ giác BIEM có 

\(\widehat{IBM}\) và \(\widehat{IEM}\) là hai góc đối

\(\widehat{IBM}+\widehat{IEM}=180^0\)(\(90^0+90^0=180^0\))

Do đó: BIEM là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

⇔B,I,E,M cùng thuộc 1 đường tròn(đpcm)

b) Ta có: ABCD là hình vuông(gt)

nên BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)(Định lí hình vuông)

⇔BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)

⇔\(\widehat{ABD}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{90^0}{2}=45^0\)

hay \(\widehat{IBE}=45^0\)

Ta có: BIEM là tứ giác nội tiếp(cmt)

nên \(\widehat{IBE}=\widehat{IME}\)(Định lí)

mà \(\widehat{IBE}=45^0\)(cmt)

nên \(\widehat{IME}=45^0\)

Vậy: \(\widehat{IME}=45^0\)

DC = DA

OA = OC

Do đó OD là trung trực của đoạn thẳng AC : suy ra OD vuông góc với AC

Tứ giác OECH có góc CEO + góc CHO = 180 độ 

Suy ra tứ giác OECH là tứ giác nội tiếp

dễ mà bạn

a: Xét ΔDOM và ΔBON có

góc DOM=góc BON

OD=OB

góc ODM=góc OBN

=>ΔDOM=ΔBON

=>DM=BN

mà DM//BN

nên BMDN là hình bình hành

b: Xét ΔEAM vuông tại A và ΔNBE vuông tại B có

EA=NB

AM=BE

Do đó: ΔEAM=ΔNBE

=>EM=EN

=>ΔEMN cân tại E

mà EO là trung tuyến

nen EO vuông góc với MN

1) Ta có: ^MOB + ^BON = ^MON =90⁰; ^NOC + ^BON = ^BOC = 90⁰

=> ^MOB = ^NOC.

Xét \(\Delta\)OMB và \(\Delta\)ONC: ^MOB = ^NOC (cmt); OB=OC; ^OBM = ^OCN (=45⁰)

=> \(\Delta\)OMB=\(\Delta\)ONC (g.c.g) => OM=ON (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta\)MON có: ^MON=90⁰; OM=ON => \(\Delta\)MON vuông cân tại O (đpcm).

2) Ta có: \(\Delta\)OMB=\(\Delta\)ONC (cmt) => BM=CN => AB-BM=BC-CN => AM=BN

Suy ra \(\frac{AM}{BM}=\frac{BN}{CN}\). Mà \(\frac{BN}{CN}=\frac{AN}{EN}\)(Hệ quả ĐL Thales)

Nên \(\frac{AM}{BM}=\frac{AN}{EN}\)=> MN // BE (ĐL Thales đảo) (đpcm).

3) Do MN // BE (cmt) nên ^MNO = ^BKO = 45⁰ (2 góc đồng vị).

Mà ^BCO = 45⁰ => ^BKO = ^BCO =45⁰ hay ^BKN = ^OCN => \(\Delta\)BNK ~ \(\Delta\)ONC (g.g)

\(\Rightarrow\frac{BN}{ON}=\frac{KN}{CN}\)hay \(\frac{BN}{KN}=\frac{ON}{CN}\)=> \(\Delta\)BON ~ \(\Delta\)KCN (c.g.c)

=> ^OBN = ^CKN => ^CKN=45⁰ (Vì ^OBN=45⁰)

Vậy ^BKC = ^BKO + ^CKN = 45⁰+45⁰ = 90⁰ => CK vuông góc BE (đpcm).

4) KH // OM, OM vuông góc OK => KH vuông góc OK. Hay KH vuông góc NK

=> ^CKH = ^NKH - ^CKN = 90⁰ - 45⁰ =45⁰ => KC là phân giác ^NKH

Suy ra \(\frac{KN}{KH}=\frac{CN}{CH}=\frac{BN}{BH}\)(ĐL đường phân giác trong tam giác) (1)

Dễ thấy KN là phân giác trong \(\Delta\)BKC => \(\frac{KC}{KB}=\frac{CN}{BN}=\frac{CH}{BH}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{KC}{KB}+\frac{KN}{KH}=\frac{BN+CH}{BH}\Leftrightarrow\frac{KC}{KB}+\frac{KN}{KH}+\frac{CN}{BH}=\frac{BN+CH+CN}{BH}\)

\(\Rightarrow\frac{KC}{KB}+\frac{KN}{KH}+\frac{CN}{BH}=\frac{BH}{BH}=1\)(đpcm).

a: Xét tứ giác BIEM có

góc IBM+góc IEM=180 độ

=>BIEM là tứ giác nội tiếp

b: Vì BIEM là tứ giác nội tiếp

nên góc IME=góc IBE=45 độ