Đặt \(A=\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{100}\)

Ta có: \(\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{75}>\dfrac{1}{75}+\dfrac{1}{75}+...+\dfrac{1}{75}=\dfrac{25}{75}=\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{1}{76}+\dfrac{1}{77}+...+\dfrac{1}{100}>\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{100}+...+\dfrac{1}{100}=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}\)

Do đó: \(A>\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12}\)(1)

Ta có: \(\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{75}< \dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{50}+...+\dfrac{1}{50}=\dfrac{25}{50}=\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{76}+\dfrac{1}{77}+...+\dfrac{1}{100}< \dfrac{1}{75}+\dfrac{1}{75}+...+\dfrac{1}{75}=\dfrac{25}{75}=\dfrac{1}{3}\)

Do đó: \(A< \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}\)(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra ĐPCM

b, đặt cái 1/21 + 1/22 +1/23+....+1/40 là A nhé và A có 20 hạng tử

Ta  có 1/21 + 1/22 +1/ 23+......+1/30>1/30 +1/30 +....+1/30 =10/30 =1/3(*)

lại có 1/31 + 1/32+.....+1/40>1/40 + 1/40 + 1/40.....=10/40=1/4(**)

từ (*) và (**) => A> 1/3 +1/4

                       A>7/12

từng đó thì phải. Còn < 1/10 thì sai đề vì 7/12 > 1/10 mà.       Mình chỉ cm đc < 5/6 thôi

a, ta có 1/51 + 1/52 + 1/53 + 1/54.....+1/100 > 1/100 + 1/100 + 1/100+......+1/100

=> 1/51 +1/52 +......+1/100 > 50/100 =1/2 ( vì có 50 hạng tử)

tương tự 1/51 + 1/52 +1/53 ..........+1/100 < 1/51 + 1/51 + 1/51 +1/51......

=> 1/51 + 1/52 + 1/53....+1/100 < 50/51 <1 

nên ta suy ra điều phải cm

Ta có \(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}=\left(1+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}\right)-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{100}\right)=\left(1+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}\right)+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{100}\right)-2.\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{100}\right)=\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{100}\right)-\left(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{50}\right)=\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{100}\)

\(\Rightarrow\text{Đ}PCM\)