Cho đa thức \(P\left(x\right)\inℝ\left[x\right]\) bậc \(n\) có \(n\) nghiệm thực phân biệt. Hỏi \(P\left(x\right)\) có tối đa bao nhiêu hệ số bằng 0?
Cho đa thức \(P\left(x\right)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+1\) có các hệ số không âm. CMR nếu \(P\left(x\right)\) có \(n\) nghiệm thực thì \(P\left(2\right)\ge3^n\)
Chứng minh rằng đa thức \(f\left(x\right)\) bậc chẵn có ít nhất 2 nghiệm khi \(\exists\alpha,\beta,\gamma\) phân biệt sao cho \(f\left(\alpha\right)+f\left(\beta\right)+f\left(\gamma\right)=0\)
Cho đa thức \(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)...\left(x-2020\right)-1\). Có thể phân tích P(x) thành tích của hai đa thức có hệ số nguyên và hai đã thức đó có bậc lớn hơn 1 được không?
Cho đa thức \(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)...\left(x-2020\right)-1\).Chứng minh rằng đa thức \(P\left(x\right)\)không thể phân tích thành hai đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn 1.
Ta đi phản chứng, giả sử P(x) có thể phân tích được thành tích hai đa thức hệ số nguyên bậc lớn hơn 1.
đặt \(P\left(x\right)=Q\left(x\right).H\left(x\right)\)với bậc của Q(x) và H(x) lớn hơn 1
Ta Thấy \(Q\left(i\right).H\left(i\right)=P\left(i\right)=-1\)với i=1,2,...2020.
suy ra \(\hept{\begin{cases}Q\left(i\right)=1\\H\left(i\right)=-1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}Q\left(i\right)=-1\\H\left(i\right)=1\end{cases}}\) suy ra \(Q\left(i\right)+H\left(i\right)=0\)với i=1,2,...,2020
mà bậc của Q(x) và H(x) không vượt quá 2019 suy ra \(Q\left(x\right)+H\left(x\right)=0\Rightarrow Q\left(x\right)=-H\left(x\right)\Rightarrow P\left(x\right)=-\left(Q\left(x\right)\right)^2\)
xét hệ số đơn thức bậc cao nhất của \(P\left(x\right)\) bằng 1
hệ số đơn thức bậc cao nhất của \(-\left(Q\left(x\right)\right)^2\) bằng -1. Suy ra vô lý.
Vậy P(x) không thể phân tích thành hai đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn 1.
Cho P(x) là đa thức hệ số nguyên thỏa mãn \(P\left(a\right)=P\left(b\right)=P\left(c\right)=P\left(d\right)=7\)
và a, b ,c ,d là các số nguyên phân biệt . Chứng minh \(P\left(x\right)-14\)
không có nghiệm nguyên
Do \(P\left(a\right)=P\left(b\right)=P\left(c\right)=P\left(d\right)=7\) nên \(P\left(x\right)-7=0\) có 4 nghiệm nguyên phân biệt
\(\Rightarrow P\left(x\right)-7=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)Q\left(x\right)\) với Q(x) là đa thức có giá trị nguyên khi x nguyên
Xét phương trình: \(P\left(x\right)-14=0\)
\(\Leftrightarrow P\left(x\right)-7=7\)
\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)Q\left(x\right)=7\) (1)
Do a;b;c;d phân biệt \(\Rightarrow\) vế trái là tích của ít nhất 4 số nguyên phân biệt khi x nguyên
Mà 7 là số nguyên tố nên chỉ có thể phân tích thành tích của 2 số nguyên phân biệt
\(\Rightarrow\) Không tồn tại x nguyên thỏa mãn (1) hay \(P\left(x\right)-14=0\) ko có nghiệm nguyên
Cho đa thức \(P\left(x\right)\)có bậc \(n\)với hệ số nguyên, \(n\ge2\). Biết \(P\left(1\right)\times P\left(2\right)=2019\)
C/m phương trình \(P\left(x\right)=0\)không có nghiệm nguyên.
Cho đa thức \(P\left(x\right)=x^3-9x^2+ax-24\left(a\in R\right)\). Biết rằng \(P\left(x\right)\) có 3 nghiệm thực phân biệt
\(x_1;x_2;x_3\) thỏa mãn điều kiện \(x_1.x_2=6\). Tìm giá trị của hệ số \(a=?\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn giúp đỡ em tham khảo với ạ!
Em cám ơn nhiều ạ!
Do \(P\left(x\right)\) có 3 nghiệm \(x_1;x_2;x_3\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\)
Đồng nhất hệ số số hạng tự do với đa thức ban đầu ta được:
\(-x_1x_2x_3=-24\Rightarrow-6x_3=-24\Rightarrow x_3=4\)
Do \(x_3\) là nghiệm, ta có:
\(P\left(x_3\right)=0\Leftrightarrow P\left(4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4^3-9.4^2+4a-24=0\Leftrightarrow4a=104\)
\(\Rightarrow a=26\)
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+x_3=9\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=a\\x_1x_2x_3=24\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+=9-x_3\\6+x_3\left(x_1+x_2\right)=a\\x_3=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+=9-x_3\\6+4\left(9-x_3\right)=a\\x_3=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+=9-4\\6+4\left(9-4\right)=a\\x_3=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+=9-x_3\\24=a\\x_3=4\end{matrix}\right.\)
Vậy \(a=24\)
Cho biết: một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau ( với biến số x) bằng đa thức 0:
\(P\left(x\right)=\left(3m-5n+1\right)x+\left(4m-n-10\right)\)
Để P(x) bằng đa thức 0 thì <=> \(\hept{\begin{cases}3m-5n+1=0\\4m-n-10=0\end{cases}}\)
(rồi giải bình thường thôi)
Để P(x) bằng đa thức 0 thì \(\hept{\begin{cases}3m-5n+1=0\\4m-n-10=0\end{cases}}\)
<=>\(\hept{\begin{cases}3m-5n=-1\\20m-5n=50\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}-17m=-51\\3m-5n=-1\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}m=3\\9-5n=-1\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}m=3\\-5n=-10\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}m=3\\n=2\end{cases}}\)
Vậy m=3, n=2 thì đa thức P(x) bằng đa thức 0
Cho hàm đa thức \(y=\left[f\left(x^2+2x\right)\right]'\) có đồ thị cắt trục \(Ox\) tại 5 điểm phân biệt như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số \(m=2022m\in Z\) để hàm số \(g\left(x\right)=f\left(x^2-2\left|x-1\right|-2x+m\right)\) có 9 điểm cực trị?
Giúp mình với ạ, mình cảm ơn nhiều♥
đề bài thiếu, ko giải được, cái nghiệm -1 có thể của f(u) hoặc của u'