2 ; 11 ; 13 ; 67 ; 107 ; 211 ; 347 ; . . .

Đặt \(p^n+144=a^2\left(a\in N\right)\)

\(\Rightarrow p^n=\left(a-12\right)\left(a+12\right)\)

Ta thấy : \(a-12+a+12=2a⋮2\)

\(\Rightarrow\left(a-12\right)\left(a+12\right)⋮2\)

\(\Rightarrow p^n⋮2\) mà $p$ nguyên tố \(\Rightarrow p=2\)

Khi đó ta có : \(2^n=\left(a-12\right)\left(a+12\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2^x=a-12\\2^y=a+12\end{matrix}\right.\) với $x+y=a; x,y \in N$,  \(y>x\)

\(\Rightarrow2^y-2^x=24\Rightarrow2^x\left(2^{y-x}-1\right)=24\)

Rồi bạn xét các TH để tìm ra giá trị đề bài nhé! Đến đây dễ rồi.

Lời giải:

Nếu $p=2$ thì $p^2+11=15$ chỉ có 4 ước nguyên dương

Nếu $p=3$ thì $p^2+11=20$ có đúng 6 ước nguyên dương

Nếu $p>3$ thì $p$ lẻ

$\Rightarrow p^2\equiv 1\pmod 4$

$\Rightarrow p^2+11\equiv 12\equiv 0\pmod 4(1)$

$p^2\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow p^2+11\equiv 12\equiv 0\pmod 3(2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra $p^2+11\vdots 12$

Đặt $p^2+11=12k$ với $k$ là số tự nhiên lớn hơn $1$

Lúc này, $p^2+11$ có ít nhất các ước nguyên dương sau: $1,2,3,4,6,12,k, 2k, 3k,4k, 6k, 12k$ (nhiều hơn 6 ước nguyên dương rồi)

Vậy $p=3$

Tớ nghĩ là tổng các ước dương nhé .... chứ cộng thêm ước âm thì thành =0 á ...Cũng là số chính phương nhưng bài kiểu này hơi dễ.

Do p là số nguyên tố => \(p^2\) chỉ có các ước là : \(p^2;p;1\)

Ta có: \(p^2+p+1=k^2\left(k\in N\right)\Rightarrow4p^2+4p+1+3=4k^2\) 

\(\Rightarrow\left(2p+1\right)^2+3=4k^2\Rightarrow4k^2-\left(2p+1\right)^2=3\Rightarrow\left(2k-2p-1\right)\left(2k+2p+1\right)=3\)

giờ tìm ước á