Áp dụng BĐT Cô - si : a + b ≥ 2\(\sqrt{ab}\)

=> x + y ≥ \(2\sqrt{xy}\) ( 1 )

y + z ≥ \(2\sqrt{yz}\) ( 2 )

x + z ≥ 2\(\sqrt{xz}\) ( 3 )

Nhân tưng vế của ( 1 , 2 , 3) , ta được :

( x + y )( y + z)( z + x ) ≥ \(2\sqrt{xy}\) . \(2\sqrt{yz}\) .2 \(\sqrt{xz}\)

<=> ( x + y )( y + z)( z + x ) ≥ 8 xyz

ta có (x+y)² ≥ 4xy

(y+z)²≥ 4yz

(x+z)²≥4xz

nhân từng vế của bđt trên ta được

(x+y)² (y+z)² (x+z)² ≥ 64 x²y²z²

=> [(x+y)(y+z)(x+z)]²≥ (8xyz)²

=>(x+y)(y+z)(x+z)≥ 8xyz(đpcm)

Ta có:

\(\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=\left(x+y+z-x\right)\left(x+y+z-y\right)\left(x+y+z-z\right)=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

Áp dụng BĐT Cosi ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\y+z\ge2\sqrt{yz}\\z+x\ge2\sqrt{zx}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\) (ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi : x=y=z

\(4\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(1-y\right)\le\left(x+2y+z\right)^2\left(1-y\right)\)

\(\le\frac{1}{4}\left(x+2y+z\right)\left(x+2y+z+1-y\right)^2=x+2y+z\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=z=\frac{1}{2}\\y=0\end{cases}}\)

ngu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườichó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​chó ngu​

`x+y+z>=0` là chưa đủ phải là `x,y,z>=0` mới đúng.

`x+y+z>=sqrt{xy}+sqrt{yz}+sqrt{zx}`

`<=>2x+2y+2z>=2sqrt{xy}+2sqrt{yz}+2sqrt{zx}`

`<=>x-2sqrt{xy}+y+y-2sqrt{yz}+z+z-2sqrt{zx}+x>=0`

`<=>(sqrtx-sqrty)^2+(sqrty-sqrtz)^2+(sqrtz-sqrtx)^2>=0` luôn đúng

Dấu `"="<=>x=y=z`

Áp dụng bdt Co-si, ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(z+x\ge2\sqrt{xz}\)

=> 2(x+y+z) \(\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

=> đpcm

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\ge3\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{xyz}\Rightarrow x+y+z\ge\dfrac{3}{xyz}\)

\(x+y+z=\dfrac{x+y+z}{3}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{xyz}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)+\dfrac{2}{xyz}=\dfrac{3}{x+y+z}+\dfrac{2}{xyz}\left(đpcm\right)\)

\(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=z=1\)

P/s: BĐT AM-GM là ra thôi bạn :D

Áp dụng AM-GM cho các số không âm, ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\)

Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)