Cho ▲ABC nhọn (AB< AC) nội tiếp (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Tia AD cắt (O) ở K. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt FD tại M, AM cắt (O) ở I. Chứng minh ▲CMD cân.
Bài 1. Cho▲ABC nhọn,AB<AC và nội tiếp (O). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Tia AD cắt (O) ở K. Tiếp tuyến tại C của (O)cắt FD tại M, AM cắt (O) tại I. Chứng minh MC^2=MI.MA và ▲CMD cân
Bài 2. Từ A nằm ngoài (O) vẽ tiếp tuyếnAB, AC. Qua A vẽ cát tuyến AMN (AM<AN, cung BM < cung MC), E là trung điểm của MN. Chứng minh BI //MN và góc ABM = góc ICN
1:
Xét ΔMCI và ΔMAC có
góc MCI=góc MAC
góc CMI chung
=>ΔMCI đồng dạng với ΔMAC
=>MC/MA=MI/MC
=>MC^2=MA*MI
góc MDC=góc BDF=góc BAC=1/2*sđ cung BC
góc MCD=1/2*sđ cung BC
=>góc MDC=góc MCD
=>ΔMCD cân tại M
Bài 9 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB<AC) . Vẽ 2 đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H .Đường tròn tạm O , đường kính CH cắt BC tại K . Các tiếp tuyến tại E và C của (O) cắt nhau tại M . Chứng minh :
1/Tứ giác OEMC , BFEC nội tiếp được
2/HF.HC=HB.HE
3/3 điểm A,H,K thẳng hàng và I,O,M thẳng hàng
4/ 5 điểm E,F,K,I,O cùng thuộc 1 đường tròn
5/Kẻ tiếp tuyến BT đến O ( T là tiếp điểm , T thuộc cung nhỏ KC ) ,FT cắt (O) tại G , EG cắt AB tại S .Chứng minh : tứ giác SBKT nội tiếp
6/ Chứng tỏ : 3 đường thẳng BM,FC,AT đồng quy tại 1 điểm
Cho nửa đường tròn ( O ) , đường kinh AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax ,By của nửa (O) sao cho AC > BC. Tiếp tuyến tại C của nửa (O) cắt Ax , By lần lượt tại D và E.
a) chứng minh : tam giác ABC vuông và AD + BE = ED
b) chứng minh 4 điểm A, D ,C , O thuộc đường tròn và góc ADO = góc CAB
c) DB cắt nửa (O) tại F và cắt AE tại I. Tia CI cắt AB tại K . Chứng minh IC = IK
Bài 1 : Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Trên đường tròn lấy 1 điểm C sao cho AC>BC . Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn O cắt nhau tại D , BD cắt (O) tại E .Vẽ dây cung EF//AD ,vẽ CH vuông góc với AB tại H
1/Chứng minh : AE=AF và BE=BF
2/ADCO là tứ giác nội tiếp
3/DC2=DE.DB
4/AF.CH=AC.EC
5/Gọi I là giao điểm của DH và AE , CI cắt AD tại K . Chứng tỏ : KE là tiếp tuyến của (O)
6/Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt KB tại S , OS cắt AE tại Q . Chứng minh : 3 điểm D,Q,F thẳng hàng
1/ Do EF//AD nên \(EF\perp AB\)
Theo tính chất đường kính dây cung ta có AB đi qua trung điểm EF hay AB là trung trực EF.
Vậy thì AE = AF; BE = BF.
2/ Ta thấy hai tam giác vuông DAO và DCO có chung cạnh huyền DO nên DAOC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính DO.
3/Xét tam giác DEC và DCB có :
Góc D chung
\(\widehat{DCE}=\widehat{DBC}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)
\(\Rightarrow\Delta DEC\sim\Delta DCB\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{DE}{DC}=\frac{DC}{DB}\Rightarrow DC^2=DE.DB\)
4/ Vì \(\Delta DEC\sim\Delta DCB\Rightarrow\frac{EC}{BC}=\frac{DC}{DB}\Rightarrow EC=\frac{BC.DC}{DB}\)
\(\Rightarrow AC.EC=\frac{AC.BC.DC}{DB}=\frac{2S_{ABC}.DC}{DB}\)
Ta cần chứng minh AC.EC = AF.CH (*) hay \(\Rightarrow\frac{2S_{ABC}.DC}{CH}=AF.DB\Rightarrow\frac{2S_{ABC}.DC}{CH}=AE.DB\)
\(\Rightarrow AE.DB=AB.DC=AB.DA\) (**)
(**) đúng vì \(AE.DB=AB.DA\left(=S_{DAB}\right)\)
Vậy (*) đúng hay AF.CH = AC.EC
5/ Ta cần chứng minh KA = KD để suy ra KE là tiếp tuyến.
Kéo dài AE, cắt CH tại M .
Do DA // CH (Cùng vuông góc AB) nên \(\frac{AK}{CM}=\frac{KI}{IC}\)
và \(\frac{KD}{CH}=\frac{KI}{IC}\Rightarrow\frac{AK}{MC}=\frac{KD}{CH}\) (1)
Gọi P, J lần lượt là giao điểm của DP với CH và BC với AD.
\(\Rightarrow\frac{HP}{AD}=\frac{BP}{BD}=\frac{CP}{DJ}\) (2)
Xét tam giác ACJ vuông tại C, AD = DC nên DC là đường trung tuyến. Suy ra AD = DJ.
Từ (2) suy ra HP = PC.
Xét tam giác vuông AMH và PBH, ta có \(\widehat{AMH}=\widehat{HBP}\) (cạnh tương ứng vuông góc)
\(\Rightarrow\Delta AMH\sim\Delta PBH\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{MH}{BH}=\frac{AH}{PH}\Rightarrow\frac{MH}{AH}=\frac{BH}{PH}\)
\(\Rightarrow MH=\frac{AH.HB}{PH}=\frac{AH.HB}{\frac{CH}{2}}=\frac{2AH.HB}{CH}\) (3)
Do CH2 = AH.HB \(\Rightarrow\frac{2AH.HB}{CH}=2CH\)
Từ (3) \(\Rightarrow MH=2CH\Rightarrow CM=CH\)
Từ (1) ta có AK = KD
\(\Rightarrow\) KE là trung tuyến của tam giác vuông ADE \(\Rightarrow KA=KE\)
\(\Rightarrow\Delta OKA=\Delta OKE\left(c-c-c\right)\Rightarrow\widehat{KEO}=\widehat{KAO}=90^o\)
hay KE là tiếp tuyến của (O).
Cho tam giác ABC nội tiếp ( O ) có AB < AC . đường phân giác AD cắt ( O ) ở E . Gọi M là giao điểm của AB và CE , tiếp tuyến tại C của ( O ) cắt AD tại N . Tiếp tuyến tại E cắt CN tại F . Chứng minh :
a) \(BC//MN//EF\)
b) \(\frac{1}{CF}=\frac{1}{CN}+\frac{1}{CD}\)
Cho ▲ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O)(AB< AC) các đường cao BE, CF. Gọi K là giao điểm của EF và BC. Đường thẳng AK cắt (O) tại M. Chứng minh góc MAF = góc MEF
Xét ΔKFB và ΔKCE có
góc KFB=góc KCE
góc K chung
=>ΔKFB đồng dạng với ΔKCE
=>KF/KC=KB/KE
=>KF*KE=KB*KC
Xét ΔKMC và ΔKBA có
góc KCM=góc KAB
góc K chung
=>ΔKMC đồng dạng với ΔKBA
=>KM/KB=KC/KA
=>KM*KA=KB*KC
=>KM*KA=KE*KF
=>KM/KE=KF/KA
=>ΔKMF đồng dạng vơi ΔKEA
=>góc KMF=góc KEA
=>gócAMF+góc AEF=180 độ
=>AMFE nội tiếp
=>góc MAF=góc MEF
CHO TAM GIÁC ABC NHỌN (AB < AC) NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN (O) ĐƯỜNG KÍNH AD. TIẾP TUYẾN TẠI D CỦA ĐƯỜNG TRÒN (O) CẮT TIA BC TẠI S. TIA SO CẮT AB,AC LẤN LƯỢT TẠI M,N. GỌI H LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA BC. CMR: OM = ON
Từ M ngoài đường tròn (O ; 3cm) vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A,B là các tiếp điểm). Vẽ đường kính AC , tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt AB tại D. MO cắt AB tại I.
1, Tính AB×AD
2, Chứng minh OD vuông góc với MC
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). gọi AH, AD lần lượt là đường cao, đường phân giác trong của tam giác ABC (H,D ϵϵ BC). tia AD cắt (O) tại E, tia EH cắt (O) tại F và tia FD cắt (O) tại K. cmr AK là đường kính của (O).