ta có: \(VT=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}=3+\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức cauchy: \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2xz\end{cases}}\)

do đó \(VT\le3+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}=\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}+3=VF\)

đẳng thức xảy ra khi x=y=z

/\(2020\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)ápdụngBDT\)

\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2}+\dfrac{1}{x^2+z^2}\ge\dfrac{9}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{9}{2\cdot2020}\)

\(ápdụngBĐTcosi\)

\(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)

\(\)=> VP\(\ge\) 9/2

Ta có : \(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{z^2+x^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}=\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+3\)

Ta lại có : \(x^2+y^2\le2xy\Leftrightarrow\frac{z^2}{x^2+y^2}\le\frac{z^2}{2xy}\)

               \(y^2+z^2\le2yz\Leftrightarrow\frac{x^2}{y^2+z^2}\le\frac{x^2}{2yz}\)    

              \(z^2+x^2\le2zx\Leftrightarrow\frac{y^2}{z^2+x^2}\le\frac{y^2}{2zx}\)

Cộng vế theo vế ta có :

\(\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}\le\frac{z^2}{2xy}+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2zx}\)

\(\Leftrightarrow\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+3\le\frac{z^2}{2xy}+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2zx}+3\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{z^2+x^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}+3\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Đặt  \(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{x^2+z^2}\le\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}+3\)  \(\left(\text{*}\right)\)

Khi đó, ta cần chứng minh bất đẳng thức  \(\left(\text{*}\right)\)  luôn đúng với mọi  \(x,y,z\in Z^+\)  và  \(x^2+y^2+z^2=2\)  \(\left(\alpha\right)\)

 \(VP\left(\text{*}\right)=\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}+3\)     

Ta có các bất đẳng thức quen thuộc đối với ba số  \(x,y,z\in Z^+\)    như sau:

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2xz\end{cases}}\)

Áp dụng các bất đẳng thức trên cho   \(VP\left(\text{*}\right)\)  ta được:

\(VP\left(\text{*}\right)\ge\left(\frac{x^2}{y^2+z^2}+1\right)+\left(\frac{y^2}{x^2+z^2}+1\right)+\left(\frac{z^2}{x^2+y^2}+1\right)=\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{x^2+z^2}+\frac{2}{x^2+y^2}\)  (theo  \(\left(\alpha\right)\)  )

Hay nói cách khác,   \(VP\left(\text{*}\right)\ge VT\left(\text{*}\right)\)

Vậy, bđt   \(\left(\text{*}\right)\)  được chứng minh.

Dấu   \("="\)  xảy ra  khi và chỉ khi  \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\x^2+y^2+z^2=2\end{cases}\Leftrightarrow}\)  \(x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}\)

\(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{x^2+z^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+z^2}\)

\(=3+\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}\)

Áp dụng BĐT cô-si cho các cặp số thực không âm sau: x² và y² ; y² và z² ; x² và z² ta được:

\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{z^2}{x^2+y^2}\le\frac{z^2}{2xy}\left(1\right)\)

Tương tự ta được: \(\frac{x^2}{y^2+z^2}\le\frac{x^2}{2yz}\left(2\right);\frac{y^2}{x^2+z^2}\le\frac{y^2}{2xz} \left(3\right)\)

Từ (1) và (2) và (3) suy ra: \(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{x^2+z^2}\le3+\frac{z^2}{2xy}+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)

\(VT=\sum\frac{2}{x^2+y^2}=\sum\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}=\sum\left(1+\frac{z^2}{x^2+y^2}\right)\le3+\sum\frac{z^2}{2xy}=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}=VP\)

Lời giải:Vì $x^2+y^2+z^2=2$ nên:

$P=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

$=3+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

$\leq 3+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

(theo BĐT AM-GM)

$=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}=3$

Vậy $P_{\max}=3$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}$

BĐT <=>\(\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+z^2}\le\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}+3\)

<=> \(^{1+\frac{z^2}{x^2+y^2}+1+\frac{x^2}{y^2+z^2}+1+\frac{y^2}{x^2+z^2}\le\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}+3}\)

<=> \(\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}\le\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}\) (1)

 TA có \(\left(x-y\right)^2\ge0\) với mọi x ; y => \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{z^2}{x^2+y^2}\le\frac{z}{yz}\)

Tương tự với hai cái còn lại .. 

=> BĐT (1) đúng 

Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z = ... 

Đừng để bị đánh lừa, đưa bài toán này về cơ bản bằng cách đặt \(\left(x^2+2;y^2+2;z^2+2\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\)

thì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}\).tìm max của \(sigma\frac{1}{\sqrt{a-2}}\) đến đây nhường chủ tus 

Nhìn lại lịch sử và đào ra bài này :v cái đó đặt ẩn rồi chuyển qua cũng k đẹp đâu, tham khảo :|

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}\)

\(=1+\frac{z^2}{x^2+y^2}+1+\frac{x^2}{y^2+z^2}+1+\frac{y^2}{z^2+x^2}\)

\(\le3+\frac{z^2}{2xy}+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2zx}\)\(=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)