b) Xét tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao

⇒ AE.AB = AH2 (1)

Xét tam giác AHC vuông tại H có HF là đường cao

⇒ AF.AC = A H 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AE.AB = AF.AC

Câu a và b cô hướng dẫn:

a) Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

b)  Tứ giác FDEA là hình bình hành nên AF // DE

c) Xét tam giác AFH có AD là đường cao đồng thời trung tuyến nên nó là tam giác cân.

Vậy thì AD là tia phân giác hay \(\widehat{FAD}=\widehat{DAH}\)

Do tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC nên  MA = MB = MC hay \(\widehat{BAM}=\widehat{ABM}\)

Vậy thì \(\widehat{FAD}+\widehat{BAM}=\widehat{DAH}+\widehat{ABM}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{FAM}=90^o\)

Vậy tam giác AFM vuông.

c) Gọi giao điểm của AM và DE là G.

Do FA // DE mà AM vuông góc FA nên AM vuông góc DE.

Vậy thì ta có ngay AFDE là hình chữ nhật.

Suy ra KG giao AD tại trung điểm mỗi đường hay I cũng là trung điểm KG.

Vậy thì AM, DE và KI đồng quy tại điểm G.

Em cảm ơn ạ !

Để chứng minh ADEF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các đẳng thức đường cao AH = trung tuyến AE và hình chiếu D, F của E trên AB, AC vuông góc với AB, AC.

a) Chứng minh AH = AE: Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên đường cao AH cũng là đường cao của tam giác vuông ABC. Do đó, ta có AH = BH. Từ tam giác ABC, ta có AE là trung tuyến nên AE = EC. Vậy, AH = AE.

b) Chứng minh AD = AF: Ta có hai tam giác vuông ADE và AFE có cạnh chung AE. Vì AE là trung tuyến nên ta có DE = FE, và góc ADE = góc AFE = 90 độ (do DE và FE vuông góc với AB, AC). Do đó, ta có hai tam giác ADE và AFE đồng dạng (cạnh góc). Từ đó suy ra, AD = AF.

Vì AH = AE và AD = AF, nên tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

c) Chứng minh BDFE là hình bình hành: Ta đã chứng minh được AD = AF, nên BD = BF (do AB < AC). Vì DE = EF (vì trung tuyến), và góc EDF = góc EBF = 90 độ (hình chiếu của E trên AB, AC vuông góc với AB, AC), nên ta có hai cạnh và một góc tương đương nhau. Do đó, tứ giác BDFE là hình bình hành.

d) Chứng minh F là trung điểm của AC: Vì AE là trung tuyến của tam giác ABC, nên F là trung điểm của AC.

Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu đề bài.

Câu 1: 

a: Xét ΔAHB vuông tạiH có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: \(BC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{4\cdot6}{2\sqrt{13}}=\dfrac{12}{\sqrt{13}}\left(cm\right)\)

\(AE=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{144}{13}:6=\dfrac{24}{13}\left(cm\right)\)

Có AD vuông góc AE (tam giác ABC vuông tại A)

     AD vuông góc DH (D là hình chiếu của H)

Suy ra; AE song song DC (dhnb)

Suy ra góc DHA = HAE (2 góc slt)

Xét tam giác adh vuông tại D và tâm giác HEA vuông tại E có:

               AH chung

              góc DHA = góc HAE (cmt)

suy ra tam giác ADH = tam giác HEA (ch-gn)

suy ra DH = EA (2 cạnh tương ứng)

           AD = HE (2 cạnh tương ứng)

a, tứ giác EHFA có : góc A= góc E = góc F =90 độ ( GT ) 

=>> EHFA là HCN 

=>> AH = EF ( hai đường chéo HCN ) 

b, mình hơi vội nên mình gợi ý cho bạn câu b thế này ạ ! CM tam giác BAC ~ tam giác EAF 

=>> AE/AF=AC/AB 

=>> AE.AB=AF.AC 

kẻ hộ mình cái hình 

a)Xét tứ giác AEHF có góc A=góc E = góc F= 90 độ nên AEHF là hình chữ nhật 

Do đó AH=EF theo tính chất 2 đường chéo của hcn

b)chưa có hình chưa làm được

a) Ta co F la hinh chieu cua H tren AC ( HF vuog goc AC )

  E la hinh chieu cua H tren AB ( HE vuong go AB )

\(\Rightarrow\)\(\widehat{AEH}=90^0\) Va  \(\widehat{AFH}=90^0\)

Ta lai co: \(\widehat{BAC}=90^0\) ( tam giac ABC vuong tai A )

Xet tu giac AEHF co :  \(\widehat{AEH}=90^0\)    \(\widehat{AFH}=90^0\)   \(\widehat{BAC}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{EMH}=90^0\)

 \(\Rightarrow\) tu giac AEMF la hinh chu nhat

\(\Rightarrow AH=EF\) 

a, Ta đã chứng minh được: AE =  b + c - a 2

=> AE =  a + b + c - 2 a 2 = p – a

∆AIE có IE = EA.tan B A C ^ 2

= (p – a).tan B A C ^ 2

b, Chú ý: BI ⊥ FD và CI ⊥ E. Ta có:

B I C ^ = 180 0 - I B C ^ + I C D ^ =  180 0 - 1 2 A B C ^ + A C B ^

=  180 0 - 1 2 180 0 - B A C ^ =  90 0 + B A C ^ 2

Mà:  E D F ^ = 180 0 - B I C ^ = 90 0 - α 2

c, BH,AI,CK  cùng vuông góc với EF nên chúng song song =>  H B A ^ = I A B ^  (2 góc so le trong)

và  K C A ^ = I A C ^ mà  I A B ^ = I A C ^ nên  H B A ^ = K C A ^

Vậy: ∆BHF:∆CKE

d, Do BH//DP//CK nên  B D D C = H P P K mà DB = DF và CD = CE

=>  H P P K = B F C E = B H C K => ∆BPH:∆CPK =>  B P H ^ = C P E ^

Lại có:  B F P ^ = C E F ^ => ∆BPF:∆CEP (g.g)

mà  B P D ^ = C P D ^ => PD là phân giác của  B P C ^