Từ đề ra : \(a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}\)

=> Chuyển vế và nhóm lại ta đc : \(a^{2000}\left(a-1\right)+b^{2000}\left(b-1\right)=0\) (1)

Tương tự ta có : \(a^{2001}\left(a-1\right)+b^{2001}\left(b-1\right)=0\)(2)

Trừ 2 cho 1 : \(a^{2000}\left(a-1\right)^2+b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\) ( bạn phân tích là đc như vậy )

Vì các số hạng trên đều \(\ge0\) 

Nên : biểu thức bằng = khi các số hạng = 0 

Bạn cho các  số hạng =0 rồi tính ra đc : 

\(\orbr{\begin{cases}a=0\\a=1\end{cases}}\) và \(\orbr{\begin{cases}b=0\\b=1\end{cases}}\)

Vì a,b dương nên \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}}\)

=> \(a^{2011}+b^{2011}=1+1=2\)

\(a^{2000}+b^{2000}=a.a^{2000}+b.b^{2000}=a^2.a^{2000}+b^2.b^{2000}\)

a=b={0,1} là nghiệm 

xét a,b \(\ne\left\{0,1\right\}\)

\(\left(1-a\right).a^{2000}=\left(b-1\right).b^{2000}\Leftrightarrow\frac{1-a}{b-1}=\left(\frac{b}{a}\right)^{2000}\)(1)

\(\left(1-a^2\right).a^{2000}=\left(b^2-1\right).b^{2000}\Rightarrow\frac{1-a^2}{b^2-1}=\left(\frac{b}{a}\right)^{2000}\)(2)

(1)&(2)=>\(\frac{1-a}{b-1}=\frac{1-a^2}{b^2-1}\Rightarrow\left(1-a\right)\left(b+1\right)=\left(1-a\right)\left(1+a\right)\Rightarrow a=b\)

Thay vào phương trình đầu: => a=b={0,1) a, b dương => a=b=1

a^20011+b^20011=2

\(a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}=a^{2002}+b^{2002}\)

\(\Leftrightarrow a^{2000}+b^{2000}=a\cdot a^{2000}+b\cdot b^{2000}=a^2\cdot a^{2000}+b^2\cdot b^{2000}\)

Mà a,b >0 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=a^2=1\\b=b^2=1\end{cases}\Rightarrow a=b=1}\)

Vậy \(a^{2011}+b^{2011}=1+1=2\)

True or False??!?

chưa chặt chẽ

số ab này bằng 1 hoặc bằng 0 nên a^2011+b^2011 bằng 0 hoặc 1 và tất nhên nó băng mấy cái trên

a;b \(\in\){0;1}

TH1: a;b =0

a²⁰¹¹+b²⁰¹¹=0^2011+0^2011=0

TH2: a;b=1

a^2011 + b^2011 = 1 + 1 = 2

\(a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}\)

\(\Leftrightarrow a^{2000}\left(a-1\right)+b^{2000}\left(b-1\right)=0\left(1\right)\)

\(a^{2001}+b^{2001}=b^{2002}+a^{2002}\)

\(\Leftrightarrow a^{2001}\left(a-1\right)+b^{2001}\left(b-1\right)=0\left(2\right)\)

Trừ vế theo vế ta được:

\(\left(a-1\right)\left(a^{2001}-a^{2000}\right)+\left(b-1\right)\left(b^{2001}-b^{2000}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)a^{2000}\left(a-1\right)+\left(b-1\right)b^{2000}\left(b-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2a^{2000}+\left(b-1\right)^2b^{2000}=0\)

Mà a,b dương\(\Rightarrow a=b=1\)

\(\Rightarrow a^{2011}+b^{2011}=2\)

a²⁰¹¹ + b²⁰¹¹ = 1 + 1 = 2

đơn giản bạn ơi, 

cặp a,b có hai trường hơp :

a                             0         0          1          1

b                             0          1           0        1

a^2011 + b ^2011       0           1         1       2

xét a²⁰⁰²+b²⁰⁰²=a²⁰⁰²+a²⁰⁰¹b+ab²⁰⁰¹+b²⁰⁰²-a²⁰⁰¹b-ab²⁰⁰¹

=(a²⁰⁰¹+b²⁰⁰¹)(a+b)-ab(a²⁰⁰⁰+b²⁰⁰⁰)=(a²⁰⁰²+b²⁰⁰²)(a+b)-ab(a²⁰⁰²+b²⁰⁰²)=(a²⁰⁰²+b²⁰⁰²)(a+b-ab)

=>(a²⁰⁰²+b²⁰⁰²)/(a²⁰⁰²+b²⁰⁰²)=(a²⁰⁰²+b²⁰⁰²)(a+b-ab)/(a²⁰⁰²+b²⁰⁰²)

=>a+b-ab=1

=>a+b-ab-1=0=>a-ab-1+b=0=>a(1-b)-(1-b)=0=>(a-1)(1-b)=0

+)a=1 =>b=0;b=1

+)b=1=>a=0;a=1

Vậy (a;b)=(0;1);(1;0);(1;1)

Thay vào đc ...=2

a²⁰⁰⁰ + b²⁰⁰⁰ = a²⁰⁰¹ + b²⁰⁰¹ 

=> a²⁰⁰⁰(a - 1) + b²⁰⁰⁰.(b - 1) = 0     ⁽¹⁾

Tương tự ta có :

a²⁰⁰¹ + b²⁰⁰¹ = a²⁰⁰² + b²⁰⁰² 

=> a²⁰⁰¹(a - 1) + b²⁰⁰¹(b - 1) = 0     ⁽²⁾

Trừ 2 cho 1 , ta có kết quả sau khi nhóm lại là :

a²⁰⁰⁰(a - 1)² + b²⁰⁰⁰.(b - 1)² = 0

Ta thấy mỗi số hạng đều > 0

=> Mỗi đơn thức > 0

Vậy ta tìm được a = 0 hoặc a = 1

                         b = 0 hoặc b = 1

=> . . . .

Ta có a^2000+b^2000=a^2000.a+b^2000.b=a^2000.a.a+b^2000.b.b

=>1+1=a+b=a^2+b^2

=>a=1 b=1

hay a^2011+b^2011=2

Ta có: \(a^{2002}+b^{2002}=\left(a^{2001}+b^{2001}\right)\left(a+b\right)-a.b\left(a^{2000}+b^{2000}\right)\) (1)

Vì \(a^{2002}+b^{2002}=a^{2001}+b^{2001}=a^{2000}+b^{2000}\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow a+b-ab=1\)

\(\Leftrightarrow a+b-ab-1=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(1-b\right)-\left(1-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(1-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\)

Cả hai TH ta đều có a=b=1

\(\Rightarrow a^{2011}+b^{2011}=1+1=2\)

P/s: Nếu thấy khó hiểu cách này thì bạn có thể tham khảo:

Câu hỏi của Mai Diễm My - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

Tớ vừa làm => tham khảo link này:

Câu hỏi của vinh siêu nhân - Toán lớp 8 | Học trực tuyến