\(\dfrac{4}{3}=a+2\sqrt{\dfrac{a}{4}.b}+\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{\dfrac{a}{2}.2b.8c}\)

\(\dfrac{4}{3}\le a+\dfrac{a}{4}+b+\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{a}{2}+2b+8c\right)=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{16}{21};\dfrac{4}{21};\dfrac{1}{21}\right)\)

Bất lực, tìm được mỗi max P T.T

Đề bài là GTNN :))

Do \(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)

\(\therefore P=\frac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c}\ge\frac{abc\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=abc=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1.\)

PS. Mà bài này làm gì có GTLN:v

Do \(a,b,c\geq 0\) và \(a+b+c=1\) nên \(a,b,c\le1\).

Xét hiệu \(5a+4-\left(a+2\right)^2=a\left(1-a\right)\ge0\)

\(\Rightarrow5a+4\ge\left(a+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{5a+4}\ge a+2\).

Tương tự, \(\sqrt{5b+4}\ge b+2;\sqrt{5c+4}\ge c+2\).

Cộng vế với vế ta có \(T\ge a+b+c+6=7\).

Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = c = 0 và các hoán vị.

Vậy Min T = 7 khi a = 1; b = c = 0. 

Một ý tưởng để có được bất đẳng thức phụ \(\sqrt{5a+4}\ge a+2\forall0\le a\le1.\)

Do $0\leq a \leq 1$ nên $a\ge a^2.$

Ta có: \(\sqrt{5a+4}=\sqrt{a+4a+4+\ 4}\ge\sqrt{a^2+4a+4+4}=a+2\)

Ngoài ra còn một cách là giả sử \(\sqrt{5a+4}\ge ma+n\)

rồi đi chọn $m,n$ theo điểm rơi.

Không biết còn cách nào khác không nhỉ?

\(C=\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ab}\right)+3\left(ab+\dfrac{1}{16ab}\right)+\dfrac{29}{16ab}\)

\(C\ge\dfrac{16}{a^2+b^2+2ab}+6\sqrt{\dfrac{ab}{16ab}}+\dfrac{29}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{16}{1}+\dfrac{6}{4}+\dfrac{29}{4}=\dfrac{99}{4}\)

Ta có \(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a.1.1}=3a\Leftrightarrow a^3\ge3a-2\) (Cosi)

Tương tự \(b^3\ge3b-2;c^3\ge3c-2\)

Cộng lại ta được  \(a^3+b^3+c^3\ge3\left(a+b+c\right)-6\)

Lại có \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (Cosi)

Do đó \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3\left(a+b+c+abc\right)-6=3.4-6=6\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\) có GTNN là 3

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(1,Q=\dfrac{a^4-2a^2+a^3-2a+a^2-2}{a^4-2a^2+2a^3-4a+a^2-2}\\ Q=\dfrac{\left(a^2-2\right)\left(a^2+a+1\right)}{\left(a^2-2\right)\left(a^2+2a+1\right)}=\dfrac{a^2+a+1}{a^2+2a+1}\)

\(Q=\dfrac{x^2+x+1}{\left(x+1\right)^2}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{x^2+x+1-\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{4}}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{3}{4}\\ Q=\dfrac{\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(x-1\right)^2}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\\ Q_{min}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow x=1\)

\(2,\text{Từ GT }\Leftrightarrow\dfrac{ayz+bxz+czy}{xyz}=0\\ \Leftrightarrow ayz+bxz+czy=0\\ \text{Ta có }\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\right)^2=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\left(\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{yz}{bc}+\dfrac{zx}{ca}\right)=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\cdot\dfrac{cxy+ayz+bzx}{abc}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\cdot\dfrac{0}{abc}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\)

Câu 2-Ta có x^2+y^2=5

(x+y)^2-2xy=5

Đặt x+y=S. xy=P

S^2-2P=5

P=(S^2-5)/2

Ta lại có P=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=S^3-3SP=S^3-3S(S^2-5)/2

Rùi tự tính

Câu1

Ta có P<=a+a/4+b+a/12+b/3+4c/3 (theo bdt cô sy)

=> P<=4/3(a+b+c)=4/3

Vậy Max p =4/3 khi a=4b=16c