Bạn tham khảo lời giải tại đây:

cho các số thực dưong x,y,z thỏa mãn : x2 y2 z2=3chứng minh rằng : \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}} \dfrac{y}{\sqrt[3]{zx}} \df... - Hoc24

Cách khác:

Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\geq \sum \frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=3\sum \frac{x}{y+z+1}=3\sum \frac{x^2}{xy+xz+x}\)

\(\geq 3. \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\)

Ta sẽ chứng minh: \(\frac{3(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\geq xy+yz+xz(*)\)

Đặt $x+y+z=a$ thì $xy+yz+xz=\frac{a^2-3}{2}$

Bằng BĐT AM-GM dễ thấy $\sqrt{3}< a\leq 3$

BĐT $(*)$ trở thành:

$\frac{3a^2}{a^2+a-3}\geq \frac{a^2-3}{2}$

$\Leftrightarrow a^4+a^3-12a^2-3a+9\leq 0$

$\Leftrightarrow (a-3)(a+1)(a^2+3a-3)\leq 0$

Điều này đúng với mọi $\sqrt{3}< a\leq 3$

Do đó BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)=\left(x+y+z\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)=a^2+b\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz=\dfrac{a^2+b}{2}\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{c}\Rightarrow\dfrac{xy+yz+xz}{xyz}=\dfrac{1}{c}\)

\(\Rightarrow xyz=c\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow xyz=\dfrac{\left(a^2+b\right)c}{2}\)

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)+3xyz\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+xz\right)\right)+3xyz\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=a\left(b-\dfrac{a^2+b}{2}\right)+3\dfrac{\left(a^2+b\right)c}{2}\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=a\dfrac{\left(b-a^2\right)}{2}+3\dfrac{\left(a^2+b\right)c}{2}\)

thay 1=x+y+z vào nhá , ví dụ x=x(x+y+z) rồi phân tích đa thức thành nhân tử!

thay 1=x+y+z vào nhá , ví dụ x=x(x+y+z) rồi phân tích đa thức thành nhân tử!

Ta có 1 + x² = xy + yz + xz + x² = (xy + x²) + (yz + xz) = (x + y)(x + z)

=> \(1x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{\left(1+x^2\right)}}=\:x\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\:x\left|y+z\right|\)

Tương tự như vậy thì ta có 

A = xy + xz + yx + yz + zx + zy = 2

đây nhé Xem câu hỏi

\(x^2+y^2-z^2=x^2+\left(y-z\right)\left(y+z\right)=x^2-x\left(y-z\right)=x\left(x-y+z\right)=x\left(-y-y\right)=-2xy\)

Tương tự \(x^2+z^2-y^2=-2xz;y^2+z^2-x^2=-2yz\)

Cộng VTV:

\(\Leftrightarrow\text{Biểu thức }=\dfrac{xy}{-2xy}+\dfrac{xz}{-2xz}+\dfrac{yz}{-2yz}=-\dfrac{1}{8}\)

a)(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3

=3(x-y+y-z+z-x)=3

b)nhân vào là rồi đối trừ là hết luôn ( nhưng là mũ 2 hay nhân 2 v mk là theo nhân 2 nhé]

nhờ mn giúp mk bài này vs ạ

mk đang cần gấp !

cảm ơn mn nhiều

Đặt \(\left(\sqrt[3]{x};\sqrt[3]{y};\sqrt[3]{z}\right)=\left(a;b;c\right)\) \(\Rightarrow a^6+b^6+c^6=3\)

\(a^6+a^6+a^6+a^6+a^6+1\ge6a^5\)

Tương tự: \(5b^6+1\ge6b^5\) ; \(5c^6+1\ge6c^5\)

Cộng vế với vế: \(18=5\left(a^6+b^6+c^6\right)+3\ge6\left(a^5+b^5+c^5\right)\)

\(\Rightarrow3\ge a^5+b^6+b^5\)

BĐT cần chứng minh: \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\) 

Ta có:

\(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\) (1)

Mà \(3\left(a+b+c\right)\ge\left(a^5+b^5+c^5\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge3\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\) (2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow\) đpcm

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-yz=a\\y^2-xz=b\\z^2-xy=c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3-xyz=ax\\y^3-xyz=by\\z^3-xyz=cz\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow ax+by+cz=x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)⋮\left(x+y+z\right)\)