Gọi ƯCLN(2n+1005;4n+2011)=d(\(d\in\)N*) 

\(\Rightarrow2n+1005⋮d\Rightarrow4n+2010⋮d\Rightarrow4n+2011-4n-2010⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

Vậy ta có đpcm 

gọi d là ƯC(2n+1005,4n+2011)(d\(\in\)N*) 

theo bài ra ta có 

2n+1005\(⋮\)d\(\Rightarrow\)2(2n+1005)\(⋮\)d\(\Rightarrow\)4n+2010\(⋮\)d

4n+2011\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)(4n+2011)-(4n+2010)\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)4n+2011-4n+2010\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)1\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)d=1

vậy với mọi n \(\in\)N thì \(\dfrac{2n+1005}{4n+2011}\) là phân số tối giản

Ta có 2n+3/4n+8 tối giản <=> UCLN ( 2n+3; 4n+8 ) = 1

Gọi UCLN ( 2n+3; 4n+8 ) = d

=> 2n + 3 chia hết cho d và 4n + 8 chia hết cho d

=> 2(2n+3) chia hết cho d và 4n+8 chia hết cho d

=> 4n+6 chia hết cho d và 4n+8 chia hết cho d

=> (4n+8)-(4n+6) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=> d = 1 hoặc 2

Mà ta có 2n + 3 chia hết cho d

              2n + 3 là số lẻ => 2n+3 không chia hết cho 2

=> d khác 2 

=> d =1

=> 2n+3 và 4n+8 tối giản với mọi số tự nhiên n

Gọi d = ƯCLN ( 2n+3,4n+8)

Khi đó \(2n+3⋮d\)và \(4n+8⋮d\)

Từ \(2n+3⋮d\Rightarrow2.\left(2n+3\right)⋮d\)

Suy ra \(\left(4n+8\right)-2.\left(2n+3\right)⋮d\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

Vì \(2n\)là số chẵn , 3 là số lẻ nên \(2n+3\)là số lẻ nên \(d\ne2\)nên d =1 

Suy ra ƯCLN ( 2n+3,4n+8) = 1 nên \(\frac{2n+3}{4n+8}\)là phân số tối giản

Gọi UCLN(2n+3;4n+8) là d.

Chứng minh d=1 hoặc 2(cơ bản).

Vì 2n+3 lẻ=>d ko thể là 2.

=>d=1.

=>kết luận .

Vậy...

Gọi UCLN ( 2n + 3,4 n + 8 )

Vì 2n + 3 lẻ

Suy ra d không thể là 2

Suy ra d = 1

Suy ra UCLN ( 2n + 3,4n + 8 ) = 1

Vậy .....................

Gọi d là ƯCLN (2n+3; 4n+7) (d thuộc N)

=> \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+7⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+7⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+7⋮d\end{cases}}}\)

=> (4n+7)-(4n+6) chia hết cho d

=> 4n+7-4n-6 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d. Mà d thuộc N 

=> d=1 => ƯCLN (2n+3; 4n+7)=1

=> \(\frac{2n+3}{4n+7}\)tối giản với n thuộc Z

Gọi d là ƯC(2n + 3 ; 4n + 7)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+7⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}4\left(2n+3\right)⋮d\\2\left(4n+7\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}8n+12⋮d\\8n+14⋮d\end{cases}}}\)

=> ( 8n + 12 ) - ( 8n + 14 ) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

* d = 1 => 2n + 3 chia hết cho 1

* d = 2 => 2n + 3 không chia hết cho 2 vì 3 không chia hết cho 2

=> d = 1

=> ƯCLN(2n + 3; 4n + 7) = 1

=> \(\frac{2n+3}{4n+7}\)tối giản ( đpcm )

Gọi ƯCLN(2n+3;4n+7) = d (d thuộc N*)

Ta có:\(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+7⋮d\end{cases}}\)

    \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+7⋮d\end{cases}}\)

    \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+7⋮d\end{cases}}\)

   \(\Rightarrow\left(4n+7\right)-\left(4n+6\right)⋮d\)

   \(\Rightarrow1⋮d\)

   \(\Rightarrow d=1\)

    \(\Rightarrow\frac{2n+3}{4n+7}\)là phân số tối giản với mọi n thuộc Z(ĐPCM)

gọi wcln(2n+3;4n+8) là k ( k thuộc n; k khác không)

suy ra 2n+3chia hết cho k

         4n+8chia hết cho k

suy ra 4n+6 chia hết cho k

          4n+8 chia hết cho k

suy ra (4n+6) - (4n+8) chia hết cho k

suy ra 2chia hết cho k

vô lí vì 2n+3 không chia hết cho2

suy ra k=1

suy ra phân số 2n+3/4n+8 là phân số tối giản