Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD). Tìm thiết diện của hình chóp bởi mp(P) chứa AB và ⊥ (SCD)
cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB=AC=a, AD=2a, SA vông góc với mp(ABCD), SA=2a. M là 1 điểm thuộc AB, mp(α) qua M và vuông góc với AB
a) Tìm thiết diện (α) với hình chóp SABCD. Thiết diện là hình gì?
b) Đặt AM =x (0<x<a). Tính diện tích thiết diện
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B, AD= a, AB=2a, BC=3a,SA=2a . H là trung điểm cạnh AB,SH là đường cao của hình chóp SABCD Tính khoảng cách từ điểm Ađến mp (SCD)
A. a 30 7
B. a 30 7
C. a 13 10
D. a 13 7
Đáp án B
Gọi H 1 là chân đường cao kẻ từ H đến DC. H 2 là chân đường cao kẻ từ H đến S H 1 . Khi đó ta có
H H 1 = a 2 , S H = a 3 ⇒ 1 H H 2 = 1 H H 1 2 + 1 S H 2 = 1 3 a 2 + 1 2 a 2 = 5 6 a ⇒ H H 2 = 6 5 a
⇒ d A , S C D = 30 10 a
Chọn phương án B.
cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a , AD = 2a ; SA ⊥ ( ABCD ) và SA = 2a . Gọi M là 1 điểm nằm trên AB ; (α) là mặt phẳng qua M , vuông góc với AB . Đặt x=AM ( 0< x < α ) .
a, Tìm thiết diện của hình chóp với (α) . Thiết diện là hình gì ?
b, Tính diện tích thiết diện theo a và x
dạ giúp mình bài này với ạ , mình cảm ơn ạ
Gọi N, Q lần lượt là trung điểm của AB , CD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN\perp AB\\MQ\perp AB\end{matrix}\right.\)
Qua N kẻ đường thẳng song song với BC , cắt SC tại P
suy ra thiết diện của mặt phẳng (\(\alpha\) ) và hình chóp là MNPQ
Vì MQ là đường t/b của hình thang ABCD , \(\Rightarrow MQ=\dfrac{3a}{2}\)
MN là đường t/b của tam giác SAB; \(MN=\dfrac{SA}{2}=a\)
NP là đường t/b của tam giác SBC ; \(\Rightarrow NP=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}\)
Vậy diện tích hình thang MNPQ là : \(S_{MNPQ}=\dfrac{MN.\left(NP+MQ\right)}{2}=\dfrac{a}{2}.\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{3a}{2}\right)=a^2\)
Cho hình chóp SABCD có SA vuông góc với (ABCD), SA=a√22, đáy abcd là hình thang vuông tại A và D với AB=2a, AD=DC=a. Tính góc giữa (SBC) và (SCD)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AD = a, AB = 2a, BC = 3a, SA = 2a. H là trung điểm cạnh AB, SH là đường cao của hình chóp S.ABCD, Tính khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD)
A . a 30 7
B . a 30 10
C . a 13 10
D . a 13 7
Đáp án B
Gọi H 1 là chân đường cao kẻ từ H đến DC. H 2 là chân đường cao kẻ từ H đến S H 1 . Khi đó ta có
=> Chọn phương án B.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a; AD=CD=A; AB=2A.Gọi (α) là mặt phẳng qua A và vuông góc SB. Tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (α)
Gặp những bài cần tính toán thế này làm biếng lắm, dựng hình thì dễ chứ tính thì chả muốn tính chút xíu nào.
Trong mp đáy, kéo dài AD và BC cắt nhau tại E \(\Rightarrow D\) là trung điểm AE (đường trung bình) \(\Rightarrow AE=AB=2a\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AD\perp AB\\SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\Rightarrow AD\perp SB\)
\(\Rightarrow AD\in\left(\alpha\right)\)
Trong mp (SAB), kẻ \(AM\perp SB\Rightarrow M\in\left(\alpha\right)\)
Dễ dàng chứng minh tam giác ACB vuông cân tại C (Pitago đảo) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)
Trong mp (SAC), kẻ \(AN\perp SC\Rightarrow AN\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AN\perp SB\Rightarrow N\in\left(\alpha\right)\)
\(\Rightarrow\) Thiết diện là tứ giác AMND
\(SB=SE=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{5}\) ; \(AM=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)
\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SC=\sqrt{AC^2+SA^2}=a\sqrt{3}\)
\(CN=\dfrac{AC^2}{SC}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) ; \(EC=BC=a\sqrt{2}\Rightarrow EN=\sqrt{EC^2+CN^2}=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}\)
\(DE=AD=a\)
\(S_{AME}=\dfrac{1}{2}AM.AE=...\)
\(S_{DNE}=\dfrac{1}{2}DE.EN.sin\widehat{DEN}=\dfrac{1}{2}DE.EN.\dfrac{AM}{\sqrt{AM^2+AE^2}}=...\)
\(\Rightarrow S_{AMND}=S_{AME}-S_{DNE}=...\)
Trong trường hợp vuông góc SC:
Vẫn nối AD cắt BC tại E rồi chứng minh \(BC\perp\left(SAC\right)\)
Sau đó từ A kẻ \(AN\perp SC\)
Trong mp (SBE), qua N kẻ đường thẳng song song BE lần lượt cắt SB tại M và cắt SE tại I
Trong mp (SAD), nối AI cắt SD tại P
Tứ giác AMNP là thiết diện cần tìm
Như câu trước, tính được \(CN=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) ; \(SC=a\sqrt{3}\Rightarrow SN=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
Talet: \(\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SI}{SE}=\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{IM}{EB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow SM=SI=\dfrac{1}{3}SB=\dfrac{a\sqrt{5}}{3};IM=\dfrac{EB}{3}=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}\)
\(AN=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\) \(\Rightarrow AI=AM=\sqrt{AN^2+\left(\dfrac{IM}{2}\right)^2}=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}\)
\(\Rightarrow\Delta AIM\) đều
Trong tam giác SAE, đặt \(\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AI}\)
\(\overrightarrow{SP}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{SA}+x.\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{SA}+x\left(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SI}\right)=\left(1-x\right)\overrightarrow{SA}+\dfrac{x}{3}\overrightarrow{SE}\)
D là trung điểm AE \(\Rightarrow\overrightarrow{SD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SE}\)
Mà S; P; D thẳng hàng \(\Rightarrow\dfrac{1-x}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\dfrac{x}{3}}{\dfrac{1}{2}}\Leftrightarrow1-x=\dfrac{x}{3}\Rightarrow x=\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow IP=\dfrac{1}{4}AI=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}\)
\(S_{AMNP}=S_{AIM}-S_{IPN}=\dfrac{1}{2}AN.IM-\dfrac{1}{2}IP.IN.sin\widehat{PIN}\)
Với chú ý rằng \(IN=\dfrac{1}{2}IM=...\) và \(\widehat{PIN}=60^0\) do tam giác AIM đều theo cmt
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a,
AD = 2a. Biết SA vuông góc với mặt phằng (ABCD) và S A = a 5 . Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng
A. 2 21 21 .
B. 21 12 .
C. 21 6 .
D. 21 21 .
Đáp án C.
Không mất tính tổng quát, giả sử a = 1
Xét hệ trục tọa độ Oxyz với
A 0 ; 0 ; 0 ; D 2 ; 0 ; 0 ;
B 0 ; 1 ; 0 ; S 0 ; 0 ; 5 .
Điểm C thỏa mãn
B C → = 1 2 A D → = 1 ; 0 ; 0
⇒ C 1 ; 1 ; 0 .
mp(SBC) có
n 1 → = S B → ; B C → = 0 ; 1 ; − 5 ; 1 ; 0 ; 0
= 0 ; − 5 ; − 1 .
mp(SCD) có
n 2 → = S D → ; C D → = 2 ; 0 ; − 5 ; 1 ; − 1 ; 0 = 5 ; 5 ; 2 .
Do đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng:
cos α = n 1 → . n 2 → n 1 . n 2 = 7 2 3 = 21 6 .
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mp đáy (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, đáy lớn AB, AB=2a, AD=CD=a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC và E là trung điểm của AB
a, CMR: (SCD) ⊥(SAD) và AH ⊥(SBC)
b, Biết góc giữa 2 mp (SCD) và (ABCD) bằng 300. Tính góc giữa 2 mp (SAD) và (SCE)?
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow\left(SCD\right)\perp\left(SAD\right)\)
\(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=a\sqrt{2}\)
\(BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=a\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow AC^2+BC^2=AB^2\Rightarrow AC\perp BC\)
\(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BC\perp AH\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\)
b.
\(CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SDA}=30^0\Rightarrow SA=AD.tan30^0=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\\AD\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\)
Qua S kẻ đường thẳng d song song AD
Do \(AD||CE\) \(\Rightarrow\) d là giao tuyến (SAD) và (SCE)
Mà \(d\perp\left(SAB\right)\Rightarrow\widehat{ASE}\) là góc giữa (SAD) và (SCE)
\(AE=\dfrac{AB}{2}=a\)
\(tan\widehat{ASE}=\dfrac{AE}{SA}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{ASE}=60^0\)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA=2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của cạnh AB và α là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. Diện tích thiết diện của mặt phẳng với hình chóp S.ABCD là
A. S = a 2
B. S = 3 a 2 2
C. S = a 2 2
D. S = 2 a 2
Đáp án A.
Gọi N, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD ⇒ M N ⊥ A B M Q ⊥ A B .
Qua N kẻ đường thẳng song song với BC, cắt SC tại P.
Suy ra thiết diện của mặt phẳng α và hình chóp là MNPQ.
Vì MQ là đường trung bình của hình tháng ABCD ⇒ M Q = 3 a 2 .
MN là đường trung bình của tam giác SAB ⇒ M N = S A 2 = a .
NP là đường trung bình của tam giác SBC ⇒ N P = B C 2 = a 2 .
Vậy diện tích hình thang MNPQ là S M N P Q = M N . N P + M Q 2 = a 2 a 2 + 3 a 2 = a 2 .