Ta có: BB' ⊥ d (gt)

CC' ⊥ d (gt)

Suy ra: BB'// CC'

Tứ giác BB'C'C là hình thang

Kẻ MM' ⊥ d ⇒ MM' // BB' // CC'

Lại có M là trung điểm của BC nên M' là trung điểm của B’C’

⇒ MM' là đường trung bình của hình thang BB'C'C

⇒ MM' = (BB' + CC') / 2 (1)

* Xét hai tam giác vuông AA'O và MM'O:

∠ (AA'O) =  ∠ (MM' O) = 90 0

AO=MO (gt)

∠ (AOA') =  ∠ (MOM' ) (2 góc đối đỉnh)

Do đó: ∆ AA'O =  ∆ MM'O (cạnh huyền, cạnh góc nhọn)

⇒AA' = MM' (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AA' = (BB' + CC') / 2

Lời giải:

a) Áp dụng định lý Talet cho:

Tam giác $CFD$ có $AM\parallel FD$:

$\frac{DF}{AM}=\frac{CD}{CM}(1)$

Tam giác $ABM$ có $ED\parallel AM$:

$\frac{ED}{AM}=\frac{BD}{BM}(2)$

Lấy $(1)+(2)\Rightarrow \frac{DE+DF}{AM}=\frac{CD}{BC:2}+\frac{BD}{BC:2}=\frac{BC}{BC:2}=2$

$\Rightarrow DE+DF=2AM$ 

Vì $AM$ không đổi khi $D$ di động nên $DE+DF$ không đổi khi $D$ di động

b) Dễ thấy $KADM$ là hình bình hành do có các cặp cạnh đối song song. Do đó $KA=DM$

Áp dụng định lý Talet cho trường hợp $AK\parallel BD$:

$\frac{KE}{ED}=\frac{KA}{BD}=\frac{DM}{BD}(3)$

Lấy $(1):(2)$ suy ra $\frac{DF}{ED}=\frac{CD}{BD}$

$\Rightarrow \frac{EF}{ED}=\frac{CD}{BD}-1=\frac{CD-BD}{BD}=\frac{CM+DM-(BM-DM)}{BD}=\frac{2DM}{BD}(4)$

Từ $(3);(4)\Rightarrow \frac{2KE}{ED}=\frac{EF}{ED}$

$\Rightarrow 2KE=EF\Rightarrow FK=EK$ hay $K$ là trung điểm $EF$

Hình vẽ:

Ta có: BB’ ⊥ d (gt)

            CC’ ⊥ d (gt)

Suy ra: BB’ // CC’

Tứ giác BB’CC’ là hình thang

Kẻ MM’ ⊥ d

 ⇒ MM’ // BB’ // CC’

Nên MM’ là đường trung bình của hình thang BB’CC’

⇒MM′=BB′+CC′2(1)⇒MM′=BB′+CC′2(1)

Xét hai tam giác vuông AA’O và MM’O:

ˆOA′A=ˆOM′MOA′A^=OM′M^

AO = MO (gt)

ˆAOA′=ˆMOM′AOA′^=MOM′^ (đối đỉnh)

Do đó: ∆ AA’O = ∆ MM’O (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ AA’ = MM’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AA′=BB′+CC′2AA′=BB′+CC′/2.

Giải thích các bước giải:

a.Ta có xy//BC,MD//AB��//��,��//��

→AD//BM,AB//DM→ˆBMA=ˆMAD,ˆBAM=ˆAMD→��//��,��//��→���^=���^,���^=���^

Mà  chung cạnh 

Tương tự chứng minh được 

b.Gọi 

→ˆIAD=ˆIMB,ˆIDA=ˆIBM(AD//BM)→���^=���^,���^=���^(��//��)

Mà 

Lại có AE//CM→ˆEAI=ˆIMC��//��→���^=���^

Kết hợp 

→ˆAIE=ˆMIC→���^=���^

→ˆEIC=ˆAIE+ˆAIC=ˆMIC+ˆAIC=ˆAIM=180o→���^=���^+���^=���^+���^=���^=180�

 thẳng hàng

 đồng quy