Áp dụng HTL tam giác AMC vuông tại M và ANB vuông tại N có 

\(\left\{{}\begin{matrix}AM^2=AD\cdot AC\left(1\right)\\AN^2=AE\cdot AB\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^0\\\widehat{BAC}.chung\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AEC\sim\Delta ADB\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AC}{AB}\)

\(\Rightarrow AE\cdot AB=AC\cdot AD\left(3\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow AM^2=AN^2\Rightarrow AM=AN\\ \RightarrowĐpcm\)

a) Ta có: \(\angle BEC=\angle BDC=90\Rightarrow BCDE\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle ADE=\angle ABC\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BACchung\\\angle ADE=\angle ABC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta ABC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\Rightarrow AD.AC=AE.AB\)

b) Vì \(\Delta AMC\) vuông tại M có \(MD\bot AC\Rightarrow AM^2=AD.AC\)

Vì \(\Delta ANB\) vuông tại N có \(NE\bot AB\Rightarrow AN^2=AE.AB\)

mà \(AE.AB=AD.AC\Rightarrow AM^2=AN^2\Rightarrow AM=AN\)

\(\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A

c) Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt CE tại F

Xét \(\Delta DEF\) và \(\Delta DBC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle EDF=\angle BDC=90\\\angle DEF=\angle DBC\left(BEDCnt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta DEF\sim\Delta DBC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{DB}{BC}\Rightarrow DE.BC=DB.EF\)

Ta có: \(\angle EDF-\angle BDF=\angle CDB-\angle BDF\left(=90-\angle BDF\right)\)

\(\Rightarrow\angle EDB=\angle CDF\)

Xét \(\Delta DEB\) và \(\Delta DFC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle EDB=\angle FDC\\\angle DCF=\angle DBE\left(BEDCnt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta DEB\sim\Delta DFC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{CF}{BE}=\dfrac{CD}{BD}\Rightarrow BE.CD=BD.CF\)

\(\Rightarrow BE.CD+DE.BC=BD.CF+BD.EF=BD\left(CF+EF\right)\)

\(=BD.CE\)

a,  tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACE (g-g)

=>\(\dfrac{AB}{AC}\) =\(\dfrac{AD}{AE}\) 

nhân chéo được : AB.AE=AD.AC

trong t/g vuông ANE có NE là đường cao :AN^2 =AE.AB

trong t/g vuông AMC có MD là đường cao :AM^2 =AD.AC

mà t/g ABD đồng dạng t/g ACE (g-g)nên AB/AC=AD/AE

=>AN^2=AM^2 suy ra AN=AM

suy ra tam giác AMN là tam giác cân

a, xét tam giác ADI và tam giác AIC có : ^IAD chung

^ADI = ^AIC = 90

=> tam giác ADI đồng dạng tg AIC (g-g)

=> AI/AD = AC/AI (đn)

=> AI^2 = AD.AC 

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

góc A chung

=>ΔABD đồng dạng với ΔACE

b: Xét ΔHEB vuông tại E và ΔHDC vuông tại D có

góc EHB=góc DHC

=>ΔHEB đồng dạng với ΔHDC

=>HE/HD=HB/HC

=>HE*HC=HB*HD

c: Xét ΔAMC vuông tại M có MD vuông góc AC

nên AD*AC=AM^2

ΔANB vuông tại N có NE vuông góc AB

nên AE*AB=AN^2

=>AM=AN

Ta có: \(\Delta AMC\) vuông tại M có \(MD\bot AC\Rightarrow AM^2=AD.AC\left(1\right)\)

 \(\Delta ANB\) vuông tại Ncó \(NE\bot AB\Rightarrow AN^2=AE.AB\left(2\right)\)

Ta có: \(\angle BEC=\angle BDC=90\Rightarrow BCDE\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle ADE=\angle ABC\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BACchung\\\angle ADE=\angle ABC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta ABC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\Rightarrow AD.AC=AE.AB\left(3\right)\)

Từ (1),(2) và (3) \(\Rightarrow AM^2=AN^2\Rightarrow AM=AN\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A

\(\Rightarrow\angle AMN=\angle ANM\)

Do: Góc ABD = Góc ACE (= 90 - A)
=> Δ ABD ∼ Δ ACE (2 Δ vuông)
=> AD.AC = AE.AB (tỉ lệ đồng dạng)
<=> AM² = AN² (Hệ thức lượng trong Δ vuông)
<=> AM = AN
Hay Δ AMN cân tại A.=>....

Trong t/g vuông ANB có NE là đường cao: AN^2 = AE.AB

Trong t/g vuông AMC có MD là đường cao: AM^2 = AD.AC

Mà t/g ABD ~ t/g ACE (g.g) nên AB/AC = AD/AE <=> AB.AE = AC.AD

=> AN^2 = AM^2 <=> AN = AM