Từ : \(a+b+c=1\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\\\frac{1}{b}=1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\\\frac{1}{c}=1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

\(\ge3+2+2+2=9\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bổ sung a,b,c dương vào đê

Cách 1:

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=¹/3 

Cách 2:

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)

Mà \(a+b+c=1\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)

Cách 3:

Xét:\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

\(\ge3+2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{b}}+2\sqrt{\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{c}}\)

\(=3+2+2+2\)

\(=9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\) vì a+b+c=1

Theo bất đẳng thức Cô-sy ta được:

\(a+b+c\ge3^3\sqrt{abc}\)(1)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3^3\sqrt{\frac{1}{abc}}\)(2)

Nhân (1) (2) vế heo vế ta được

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)

biến đổi cách này dễ hiểu hơn nề:))

vì a+b+c=1 nên

\(\frac{1}{a}\)=\(\frac{a+b+c}{a}\)= 1+ \(\frac{b}{a}\)+\(\frac{c}{a}\)

\(\frac{1}{b}\)=\(\frac{a+b+c}{b}\)= 1+ \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{c}{b}\)

\(\frac{1}{c}\)=\(\frac{a+b+c}{c}\)= 1+ \(\frac{a}{c}\)+\(\frac{b}{c}\)

ta có \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)= 1+1+1+(\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\))+(\(\frac{a}{c}\)+\(\frac{c}{a}\))+(\(\frac{b}{c}\)+\(\frac{c}{b}\))

ta lại có \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\)2 \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2+b^2}{ab}\)\(\ge\)2\(\Leftrightarrow\)\(a^2\)+\(b^2\)\(\ge\)^{2ab \(\Leftrightarrow\)(a-b)^2\(\ge\)0      luôn đúng}

^{tương tự ta có a/c+c/a >= 2 và b/c+c/b >= 2}

^{vậy 1/a+1/b+1/c>=9}

\(\frac{1}{a}=\frac{a+b+c}{a}=1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\)

\(\frac{1}{b}=\frac{a+b+c}{b}=1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\)

\(\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{c}=1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)

Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge3+2+2+2=9\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}}\Rightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT AM-GM (Cô si) cho hai số dương,ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}=9^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\\a+b+c=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

vì a+b+c =1 nên ta đi cm \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Có \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (BĐT Cô si)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) ( BĐT Cô si)
Nhân vế với vế -> đpcm

\(\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{1^2}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)

Có thể làm đơn giản hơn đc không #Mạnh ?? bọn tớ chưa học về BĐT Cô si T.T

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)

Dấu = xảy ra <=>x=y=z=1/3

Nếu  là số có 1 chữ số thì biểu thức  có giá trị lớn nhất là 

Đề phải cho \(a,b,c>0\)nữa nha

Bài làm :

Áp dụng bđt Cauchy :

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{9\cdot\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{abc}}=9\)

Hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)( vì \(a+b+c=1\))

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)

\(\sqrt[3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}=9\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Áp dụng Bunyakovsky , có :

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3.\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}\right)^2=3.3=9\)

Đẳng thức xảy ra 

<=> a = b = c = 1 

\(1+\frac{1}{a};1+\frac{1}{b};1+\frac{1}{c}=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{abc}\)

\(=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{a+b+c}{abc}+\frac{1}{abc}\)

Do: \(a+b+c=1\) nên \(\Leftrightarrow1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{2}{abc}\)

Vì a,b,c > 0 áp dụng công thứ Cô-si ta có : \(a+b+c\ge3^8\sqrt{abc}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3^8\sqrt{\frac{1}{abc}}\)

P/s: Sorry tới đây là bí rồi, bạn tự giải quyết nốt nha

a) đề thiếu òi bạn à            

Ta chứng minh BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\), Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\);\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

Nhân 2 vế của BĐT ta được:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\).Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Áp dụng vào bài toán ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\) (a,b,c có tổng bằng 1)

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}a+b+c=1\\a=b=c\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)