Theo Cô si       4x+\frac{1}{4x}\ge24x+4x1​≥2  , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   4x=\frac{1}{4x}=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}4x=4x1​=1⇔x=41​). Do đó

                                         A\ge2-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2016A≥2−x+14x​+3​+2016

                                        A\ge4-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2014A≥4−x+14x​+3​+2014

                                        A\ge\frac{4x-4\sqrt{x}+1}{x+1}+2014=\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)^2}{x+1}+2014\ge2014A≥x+14x−4x​+1​+2014=x+1(2x​−1)2​+2014≥2014

Hơn nữa    A=2014A=2014 khi và chỉ khi \left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{4}\\2\sqrt{x}-1=0\end{matrix}\right.{x=41​2x​−1=0​  \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}⇔x=41​ .

Vậy  GTNN  =  2014

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm: $mx^2=x-2$

$\Leftrightarrow mx^2-x+2=0(*)$

Để 2 đths cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì pt $(*)$ phải có 2 nghiệm phân biệt

Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ \Delta=1-8m>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ m< \frac{1}{8}\end{matrix}\right.(I)\)

Hoành độ giao điểm khi đó là 2 nghiệm $x_1,x_2$ của pt $(*)$

Áp dụng định lý Viet: $x_1+x_2=\frac{1}{m}; x_1x_2=\frac{2}{m}$

Để 2 điểm phân biệt nằm ở 2 phía của trục tung thì $x_1,x_2$ trái dấu

Tức là $x_1x_2<0\Leftrightarrow\frac{2}{m}<0$

$\Leftrightarrow m<0$

Kết hợp với $(I)$ suy ra $m<0$

\(Bước 1\) Lập phương trình hoành độ 

Hoành độ giao điểm là nghiệm của pt 

\(x-2=mx^2\\ \Leftrightarrow-mx^2+x-2=0\)

\(Bước2\) Để hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung => pt có 2 nghiệm trái dấu

\(a\times c< 0\\ \Leftrightarrow\left(-m\right).\left(-2\right)< 0\\ \Leftrightarrow2m< 0\\ \Leftrightarrow m< 0\\ =>B\)

\(a,\) Đồng biến \(\Leftrightarrow m-2>0\Leftrightarrow m>2\)

Nghịch biến \(\Leftrightarrow m-2< 0\Leftrightarrow m< 2\)

\(b,\) PT giao Ox: \(y=0\Leftrightarrow\left(m-2\right)x=-\left(m+3\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{m+3}{2-m}\Leftrightarrow A\left(\dfrac{m+3}{2-m};0\right)\Leftrightarrow OA=\left|\dfrac{m+3}{2-m}\right|\)

PT giao Oy: \(x=0\Leftrightarrow y=m+3\Leftrightarrow B\left(0;m+3\right)\Leftrightarrow OB=\left|m+3\right|\)

Theo đề: \(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA\cdot OB=1\)

\(\Leftrightarrow\left|\dfrac{m+3}{2-m}\right|\left|m+3\right|=2\\ \Leftrightarrow\dfrac{\left(m+3\right)^2}{\left|2-m\right|}=2\\ \Leftrightarrow2\left|2-m\right|=\left(m+3\right)^2\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\left(2-m\right)=\left(m+3\right)^2\left(m\le2\right)\\2\left(m-2\right)=\left(m+3\right)^2\left(m>2\right)\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2+8m+5=0\left(m\le2\right)\\m^2+4m+13=0\left(vô.n_0\right)\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-4+\sqrt{11}\left(n\right)\\m=-4-\sqrt{11}\left(n\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

a: 

PTHĐGĐ là:

x^2-x-2=0

=>(x-2)(x+1)=0

=>x=2 hoặc x=-1

Khi x=-1 thì y=(-1)^2=1

Khi x=2 thì y=2^2=4

b: Để y=(m-1)x+m+n trùng với y=-2x+1 thì

m-1=-2 và m+n=1

=>m=-1 và n=1-m=1-(-1)=2