Bài 2 bạn tham khảo cách làm của cô Linh Chi tại đây nhé :

Câu hỏi của nguyen trung nghia - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Học tốt và cá tháng tư đừng để bị troll nha !!!!!!!!!!!

B1:

\(M=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

\(=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

Nhờ dự đoán được điểm rơi,ta chứng minh bất đẳng thức sau luôn đúng:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)

Thật vậy !!!

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y}{x}-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x-y}{2y}+\frac{y-2x}{x}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x^2-xy+2y^2-4xy}{2xy}\le0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-5xy+2y^2\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(2x-y\right)\le0\) ( đúng )

Dấu "=" xảy ra tại \(x=1;y=2\)

Vậy \(M_{max}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=1;y=2\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(true\right)\)

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{504}{xy}\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1007}{2xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1007}{2xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1007}{2\left(\frac{x+y}{2}\right)^2}\)

\(\ge4+2014=2018\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=¹/₂

Vậy \(P_{min}=2018\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Đặt \(2y=a\)thì ta được

\(P=\frac{1}{x^2+a^2}+\frac{1}{xa}=\left(\frac{1}{x^2+a^2}+\frac{1}{2xa}\right)+\frac{1}{2xa}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+a^2+2ax}+\frac{2}{\left(x+a\right)^2}=\frac{6}{\left(x+a\right)^2}\ge\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)

Bài này dùng Cô si ngược dấu:

Áp dụng BĐT Cô si:\(\frac{1}{x^2+1}=1-\frac{x^2}{x^2+1}\ge1-\frac{x^2}{2x}=1-\frac{x}{2}\)

Tương tự với ba BĐT còn lại và cộng theo vế ta được:\(VT\ge4-\frac{x+y+z+t}{2}=2\)

Dấu "=' xảy ra tại a = b = c = 1

Vậy min A = 2 khi và chỉ khi a = b = c = 1

tth ngược dấu nhé 

\(A=\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}+\frac{1}{t^2+1}\)

\(\Leftrightarrow\)\(-A+4=\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y^2+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z^2+1}\right)+\left(1-\frac{1}{t^2+1}\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(-A+4\ge1-\frac{x}{2}+1-\frac{y}{2}+1-\frac{z}{2}+1-\frac{t}{2}=4-\frac{x+y+z+t}{2}=2\)

\(\Leftrightarrow\)\(-A+4\ge2\)

\(\Leftrightarrow\)\(A\le2\)

Phùng Minh Quân ông ms ngược dấu á!bài người ta tìm gtnn mừ

Từ giả thiết ta có: \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\Rightarrow x^2\le3x-2\). Tương tự \(y^2\le3y-2\)

Từ đây ta có: \(A\ge\frac{x+2y}{3\left(x+y+1\right)}+\frac{y+2x}{3\left(x+y+1\right)}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)

\(=\frac{x+y}{x+y+1}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\). Đặt \(t=x+y\Rightarrow2\le t\le4\)

Ta sẽ tìm min của \(A=\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4\left(t-1\right)}\) với \(2\le t\le4\). Đến đây vẫn chưa mừng được vì ko thể dùng miền giá trị!Ta sẽ chứng minh A \(\le\frac{7}{8}\). Thật vậy: \(A-\frac{7}{8}=\frac{t}{t+1}-\frac{3}{4}+\frac{1}{4\left(t-1\right)}-\frac{1}{8}\)

\(=\frac{t-3}{4\left(t+1\right)}-\frac{t-3}{8\left(t-1\right)}=\frac{4\left(t-3\right)^2}{32\left(t+1\right)\left(t-1\right)}\ge0\). Do đó...

Đẳng thức xảy ra khi (x;y) = (2;1) và các hoán vị của nó!

P/s: Nhớ check xem em có quy đồng sai chỗ nào không:v

Ấy nhầm:v "Ta sẽ chứng minh \(A\ge\frac{7}{8}\)" Thế này mới đúng nha, đánh lanh tay quá nên nhầm:)))

Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}\)

\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2=6\)

Dấu "=" xảy ra khio x=y=1/2

By Titu's Lemma we easy have:

\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{17}{4}\)

Mk xin b2 nha!

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

1) có \(2y\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{xy}+\frac{1}{4\sqrt{xy}}\right)^2+\frac{15}{16xy}+\frac{1}{2}\ge\frac{15}{16}\cdot4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)