Question

cho \(x,y\ge0\) t/mãn \(x^2+y^2\le2\) .Tìm GTNN của:

            \(A=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow4\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow2\ge x+y\)

Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có: 

\(A=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{1+1+x+y}=\frac{4}{x+y+2}\)

Mà \(2\ge x+y\Rightarrow A\ge\frac{4}{2+2}=\frac{4}{4}=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=1\)

Answer 2

Thắng Nguyễn sai rồi ...

Cái bđt đầu tiên là Bunhiacopxki mới đúng

ko phải Cô-si đâu 

-_-