Bài này .....

Bạn ơi, bài này sai đề r, phải là gọi H,K lần lượt lầ hc của I trên AB,BC!

mink chịu nhé bn

tham khảo

hình

a) Ta thấy: Tam giác ABC vuông tại A; DN vuông góc AC=> DN//AB =>  \(\frac{DF}{FN}=\frac{BM}{AM}\)(Hệ quả của ĐL Thales) (1)

Lại có:  DM vuông góc AB; ^BAC=90⁰ => DM//AC hay EM//AN => \(\frac{BM}{AM}=\frac{BE}{EN}\)(ĐL Thales) (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{DF}{FN}=\frac{BE}{EN}\)=> \(EF\)//\(BD\)(ĐL Thales đảo)

hay \(EF\)//\(BC\)(đpcm)

b) Dễdàng c/m được: Tứ giác AMDN là hình vuông =>  AM=MD=DN=AN

Gọi giao điểm của AE và FM là O

Ta có: \(\frac{DF}{DN}=\frac{BM}{AB}=\frac{BD}{BC}\)(Hệ quả ĐL Thales) (3)

Tương tự: \(\frac{EM}{MD}=\frac{AN}{AC}=\frac{BD}{BC}\)(4)

Từ (3) và (4) => \(\frac{DF}{DN}=\frac{EM}{MD}\)Mà DN=MD => DF=EM.

Xét \(\Delta\)AME và \(\Delta\)MDF:

AM=MD

^AME=^MDF         => \(\Delta\)AME=\(\Delta\)MDF (c.g.c) => ^MAE=^DMF (2 góc tương ứng)

EM=DF (cmt)

Lại có: ^MAE+^MEA=90⁰ => ^DMF+MEA=90⁰ hay ^EMO+^MEO=90⁰

Xét \(\Delta\)MEO: ^EMO+^MEO=90⁰ =. \(\Delta\)MEO vuông tại O => FM vuông góc với AE

Tương tự ta c/m được EN vuông góc với AF 

=> FM và EN là 2 đường cao của tam giác AEF. mà 2 đoạn này cắt nhau tại K

Vậy K là trực tâm tam giác AEF (đpcm).

c) Gọi BI giao AD tại H

K là trực tâm tam giác AEF (cmt) => AK vuông góc EF .Mà EF//BC (cmt) => AK vuông góc với BC

hay AK vuông góc với BD

Xét tam giác BAD:

AK vuông góc BD

DM vuông góc AB          => I là trực tâm tam giác BAD

AK cắt DM tại I

=> BI vuông góc AD => IH vuông góc với AD. 

Lại có ^HDI=^ADM=45⁰ => Tam giác IHD vuông cân tại H

=> ^HID = 45⁰ => ^BID=135⁰.

Vậy ^BID=135⁰.

a.

Dễ thấy \(\Delta COF=\Delta COH\left(ch-cgv\right)\Rightarrow CF=CH\Rightarrow\Delta CFH\) cân tại C.

\(\Rightarrow\widehat{CFH}=\widehat{CHF}\left(1\right)\)

Kẻ \(IG//AC\left(G\in FH\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IGF}=\widehat{CHF}\left(2\right)\)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow\Delta IGF\) cân tại I.\(\Rightarrow IG=FI\) mà \(FI=AH\Rightarrow GI=AH\)

Xét \(\Delta AHK\) và \(\Delta IGK\) có:

\(\widehat{HAI}=\widehat{AIG}\)

\(AH=IG\)

\(\widehat{AHG}=\widehat{HGI}\)

\(\Rightarrow\Delta AHK=\Delta IGK\left(g.c.g\right)\Rightarrow AK=KI\)

b.

Hạ \(OE\perp AB\left(E\in AB\right)\)

Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên khoảng cách từ O đến mỗi cạnh là bằng nhau.

\(\Rightarrow OE=OH=OF\)

Khi đó:

\(\Delta AOE=\Delta AOH\left(ch.cgv\right)\Rightarrow EA=HA\)

\(\Delta BOE=\Delta BOF\left(ch.cgv\right)\Rightarrow BE=BF\)

Ta có:

\(BA=BE+EA=BF+AH=BF+FI=BI\)

\(\Rightarrow\Delta ABI\) cân tại B.

Do \(KA=KI\Rightarrow BK\) trung tuyến mà BO là phân giác nên B,O,K thẳng hàng.