1.

\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)

\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)

Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:

\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)

\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)

Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn

2. \(N=n^4+4^n\)

- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số

- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)

\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)

Mặt khác:

\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)

\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)

\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1

\(\Rightarrow\) N là hợp số

Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).

Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9

Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số  3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)

Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)

(x-2)².(y-3)=-4

=> (x-2)².(y-3)=-1.4=-4.1=1.(-4)=4.(-1)

+) (x-2)² = -1 (vô lí) thì y-3=4

+) (x-2)² = -4 (vô lí) thì y-3=1

+) (x-2)²=1 thì y-3=-4

=> x-2=+1 thì y-3=4

=> x=3 hoặc x=1 thì y=7

+) (x-2)²=4 thì y-3=-1

=> x-2=+2 thì y-3=-1

=> x=4 hoặc x=0 thì y=2

Mà x, y là các số nguyên tố

Vậy cặp (x;y) thỏa mãn là: (3; 7).

sai de bai roi phai la

(x-2)^2*(y-3)^2=-4

Minh Hien giai sai rui

vì (x-2)^2*(y-3)^2=4

mà (x-2)^2 luôn>=0;(y-3)^2 luôn>=0;x,y là SNT nên 

suy ra  (x-2)^2*(y-3)^2=1*4=4*1(vì ko có số nào mũ 2=2)

trường hợp 1:(x-2)^2=1 và (y-3)^2=4

                     x=  3                   y=5

trường hợp 2:(x-2)^2=4 và  (y-3)^2=1

                          x=4(hợp số)loại

vậy số NT x là3;y là5

ta có (x-2)^2 và (y-3) thuộc Ư(-4)={-4:-2;-1;1;2;4} mà (x-2)^2 là số chính phương nên ko âm

=> (x-2)^2=1=>(x-2)=1;-1=>x=1;3 và (y-3)=-4=>y=-1

     (x-2)^2=4=>(x-2)=2;-2=>x=0;4 và (y-3)=-1=>y=2

=> (x;y) = (1;-1);(3;-1);(2;4);(0;4)

vì x,y là số nguyên tố nên x=3;y=-1

Bài toán không có lời giải vì không có số nguyên tố âm nên không có kết quả cho bài toán này