Đặt  x = \(\frac{1}{2a+1},y=\frac{1}{2b+1},z=\frac{1}{2c+1}\)

Khi đó \(a=\frac{1-x}{2x},b=\frac{1-y}{2y},c=\frac{1-z}{2z}\)

Ta thấy 0 < x, y, z < 1 và x + y + z \(\ge1\)

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành :

\(\frac{x}{3-2x}+\frac{y}{3-2y}+\frac{z}{3-2z}\ge\frac{3}{7}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có :

\(\frac{x}{3-2x}+\frac{y}{3-2y}+\frac{z}{3-2z}\)

\(=\frac{x^2}{3x-2x^2}+\frac{y^2}{3y-2y^2}+\frac{z^2}{3z-2z^2}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x+y+z\right)-2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x+y+z\right)-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)

\(=\frac{3}{\frac{9}{x+y+z}-2}\ge\frac{3}{7}\)

Cbht

1+1=2

XD

làm được chưa, show cách giải đi

cosi 9 so thoii DL ak

Đặt \(\left(\frac{1}{2a+1};\frac{1}{2b+1};\frac{1}{2c+1}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z\ge1\)

Mặt khác do \(a;b;c>0\Rightarrow x;y;z< 1\)

Ta có: \(P=\frac{x}{3-2x}+\frac{y}{3-2y}+\frac{z}{3-2z}\)

Ta có đánh giá: \(\frac{x}{3-2x}\ge\frac{27x-2}{49}\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow9x^2-6x+1\ge0\Leftrightarrow\left(3x-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Thiết lập tương tự và cộng lại:

\(P\ge\frac{27\left(x+y+z\right)-6}{49}\ge\frac{21}{49}=\frac{3}{7}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=1\)

Cậu ch0 mik xl nhen! Mik k0 bít làm! Xl rất nhìu

Áp dụng BDDT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{a+b+b+c+c+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{1}{3a+b+2c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right);\frac{1}{2a+3b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le\frac{1}{36}\left(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}\right)=\frac{1}{6a}+\frac{1}{6b}+\frac{1}{6c}=VP\)

Khi \(a=b=c\)

vc kho vai

Đặt \(x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}, z=\frac{1}{c}, \Rightarrow x+y+z=2\)

Suy ra    \(\frac{1}{a\left(2a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2c-1\right)^2}=\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}\)

Ta có \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{2-x}{8}+\frac{2-x}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2} .\frac{2-x}{8}.\frac{2-x}{8}}=\frac{3x}{4}.\)

\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}\ge x+y+z-\frac{3}{2}=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)

dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)hay \(a=b=c=\frac{3}{2}\)

\(\forall a,b,c\ge0\).Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz,ta có :

\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2a+c+2c+a+2a+b}=\frac{9}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{a+b+c}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

moi nguoi oi hom truoc minh hoc tap hop cac so TN do thi co cua minh day nhu sau 

vd: A={xeN/3<x<9}

thi minh liet ke ra la A=4,5,6,7,8 nhung sua bai lai ko dung 

co sua nhu vay A=3,4,5,6,7,8

ko biet hay sai mong ae giup minh

Áp dụng BĐT Cô-si \(ab\le\frac{\left(a+b\right)}{4}^2\)

=> \(\left(2a+b\right)\left(2c+b\right)\le\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{4}=\left(a+b+c\right)^2\)

=> \(\frac{1}{\left(2a+b\right)\left(2c+b\right)}\ge\frac{1}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Mấy cái kia làm tương tự cậu nhé 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1