Question

cho a,b,c > 0 thỏa mãn \(\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\ge1\)

Cmr: \(\frac{1}{6a+1}+\frac{1}{6b+1}+\frac{1}{6c+1}\ge\frac{3}{7}\)

Answer 1

Đặt \(\left(\frac{1}{2a+1};\frac{1}{2b+1};\frac{1}{2c+1}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z\ge1\)

Mặt khác do \(a;b;c>0\Rightarrow x;y;z< 1\)

Ta có: \(P=\frac{x}{3-2x}+\frac{y}{3-2y}+\frac{z}{3-2z}\)

Ta có đánh giá: \(\frac{x}{3-2x}\ge\frac{27x-2}{49}\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow9x^2-6x+1\ge0\Leftrightarrow\left(3x-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Thiết lập tương tự và cộng lại:

\(P\ge\frac{27\left(x+y+z\right)-6}{49}\ge\frac{21}{49}=\frac{3}{7}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=1\)