Ta có A=2⁰+2¹+2²+2³+...2¹⁰⁰

2A=2¹+2²+...+2¹⁰¹

2A-A=(2¹+2²+...+2¹⁰⁰)-(2⁰+2¹+...+2¹⁰⁰)

A=2¹⁰¹-1

Mà 2¹⁰¹-1=(........02)-1=........01 chia 100 dư 1

Chúc bạn học tốt.

Ta có

  2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 +...+ 2 98 + 2 99 + 2 100

= 2 1 + ( 2 2 + 2 3 + 2 4 ) + ( 2 5 + 2 6 + 2 7 ) +...+ ( 2 98 + 2 99 + 2 100 )

= 2 + 2 2 1 + 2 + 2 2 + 2 5 1 + 2 + 2 2 + . . . + 2 98 1 + 2 + 2 2

= 2 + 2 2 . 7 + 2 5 . 7 + . . . + 2 98 . 7 = 2 + 7 2 2 + 2 5 + . . . + 2 98

Mà  7 . 2 2 + 2 5 + . . . + 2 98 ⋮ 7  

Nên  2 + 7 2 2 + 2 5 + . . . + 2 98 : 7   d ư   2

\(A=1+2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

\(=1+\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{99}+2^{100}\right)\)

\(=1+2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{99}\left(1+2\right)\)

\(=1+3\left(2+2^3+...+2^{99}\right)\)

=>A chia 3 dư 1

A=(1+2+2^2)+2^3(1+2+2^2)+...+2^2013(1+2+2^2)+2^2016

=7(1+2^3+...+2^2013)+2^2016

Vì 2^2016 chia 7 dư 1

nên A chia 7 dư 1

thì mình lấy số đó cộng với số dư sẽ chia hết cho số đó 

mà số chia luôn lớn hơn số dư 

sẽ ra kết quả 

Gọi số cần tìm là A 

Theo bài ,ta có : 

A chia 8 dư 6 => A  + 2 chia hết cho 8

A chia 12 dư 12 => A + 2 chia hết cho 12

A chia 15 dư 13 => A + 2 chia hết cho 15 

=> A + 2 là bội chung của { 8 ; 12 ; 15 }

Các bội chung của { 8 ; 12 ; 15 } là 120 ; 240 ; 360 ; 480 ; 600 ; ...

A có thể là : 118 ; 238 ; 358 ; 478 ; 598 ; ...

Vì A chia hết cho 23 => A là 598 ( thỏa mãn điều kiện của đề bài )

Vậy số tự nhiên càn tìm là 598

Gọi số cần tìm là \(x,\)ta có :

\(x\): 21 dư 15

\(\Rightarrow\)\(x\)= 21n + 15 (n\(\in\)N)

\(\Rightarrow\)\(2x\)= 42n + 30 = 42n + 30 = 42n + 29 + 1 : 29 dư 1

\(x\): 14 dư 8

\(\Rightarrow\)\(x\)= 14m + 8 (m \(\in\)N)

\(\Rightarrow\)\(2x\)= 28m + 16 = 28m + 15 + 1 : 15 dư 1

\(x\): 35 dư 29

\(\Rightarrow\)\(x\)= 35p + 29 (p \(\in\)N)

\(\Rightarrow\)\(2x\)= 70p + 58 = 70p + 57 + 1 : 57 dư 1

\(\Rightarrow\)\(x-1\)\(⋮\)29, 15, 57

Mà \(x\)là số tự nhiên nhỏ nhất \(\Rightarrow\)\(x-1\in BCNN\left(29,15,57\right)\)

29 = 29

15 = 3.5

57 = 3.19

\(x-1\in BCNN\left(29,15,57\right)=29.3.5.19=8265\)

\(\Rightarrow\) \(x=8265+1=8266\)

so du la 0

A=20+21+22+23+(24+25+..+31) + (32+33+...+39)+...+ (21009+21010+...+21015)+21016

A=80+6+21016+(24+25+..+31) + (32+33+...+39)+...+ (21009+21010+...+21015)

Ta thấy mỗi dấu ngoặc là 8 số tự nhiên liên tiếp có số dư lần lượt là 0,1,2,..,7 có 0+1+2+...+7=28

Số số hạng được chứa trong dấu ngoặc là: (21015-24):1+1=20992 số

Số cặp đó là: 20992:8=2624 Cặp

Do vậy số dư của A chia 8 bằng số dư của B=6+28.2624 (do 80 và 21016 \(⋮\)8)

Mà 2624\(⋮\)8

Nên số dư của A cho 8 là 6

P/S: Bài này em có thể tính tổng ra rồi chia nhưng sẽ cồng kềnh

số dư =0