Cho hình bình hành ABCD, tia phân giác của góc D và góc B cắt AB và CD tại M và N

a, chứng minh góc AMD = góc ABN

b, Chứng minh tứ giác DMBN là hình bình hành

c, tia phân giác của góc A cắt DM và BN tại H và G, tia phân giác của góc C cắt DM và BN tại E và F Chứng minh tứ giác HEFG là hình chữ nhật

a: Xét tứ giác AECF có

AF//CE

AF=CE

Do đó: AECF là hình bình hành

b: Xét ΔDHC có

E là trung điểm của DC

EI//HC

Do đó: I là trung điểm của DH

=>DI=IH(1)

Xét ΔAIB có

F là trung điểm của AB

FH//AI

Do đó: H là trung điểm của BI

=>BH=HI(2)

Từ (1) và (2) suy ra DI=IH=BH

Hướng giải: 

a) Áp dụng đường trung bình của tam giác ( gợi ý : tam giác CAF) 

b) Áp dụng đường trung bình của tam giác ( gợi ý : tam giác CAF) - câu a

kq: hình bình hành (dấu hiệu: tứ giác có 2 cạnh đối song song và bằng nhau)

c) cm BFKC là hình chữ nhật 

(bằng cách: - cm BFKC là hình bình hành theo dấu hiệu tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song

- cm BFKC là hình chữ nhật theo dấu hiệu hình bình hành có 1 go1cv vuông là hình chữ nhật) 

Áp dụng tính chất hình chữ nhật có 2 đường chéo bằng nhau và CẮT NHAU TẠI TRUNG ĐIỂM MỖI ĐƯỜNG) 

d) EI // OC (do OEIC là hình bình hành - cmt ở câu b)

Có chung điểm I => HI // EI (// OC) hay HK // EI 

2) xét tam giác BMC có ba đường cao BA,ME,CD =>ba đường thẳng đó đồng quy

4) chứng minh t/g AMEB nội tiếp => góc MAE= MBE ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung ME) 

có goc DAC=DBC( vi t/g ABCD nội tiếp ) 

=>MAE=DAC (=goc MBC) =>AC là phân giác của DAM

xét tam giác ADEcó: MN và AC là hai tia phân giác cắt nhau tại M => M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE

a) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=180^o\\\widehat{ACB}+\widehat{BCE}=180^o\end{matrix}\right.\left(kềbù\right)\)

Lại có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

Nên : \(180^o-\widehat{ABC}=180^o-\widehat{ACB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{CBD}=\widehat{BCE}\)

Xét \(\Delta BDC,\Delta CBE\) có :

\(BC:Chung\)

\(\widehat{CBD}=\widehat{BCE}\left(cmt\right)\)

\(BD=CE\left(gt\right)\)

=> \(\Delta BDC=\Delta CBE\left(c.g.c\right)\)

Xét \(\Delta BID,\Delta CIE\) có :

\(\widehat{BID}=\widehat{CIE}\) (đối đỉnh)

\(BD=CE\left(gt\right)\)

\(\widehat{BDI}=\widehat{CEI}\) (do \(\Delta BDC=\Delta CBE\))

=> \(\Delta BID=\Delta CIE\left(g.c.g\right)\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}IB=IC\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\\ID=IE\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\end{matrix}\right.\)

b) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(\text{tam giác ABC cân tại A}\right)\\BD=CE\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB+BD=AD\\AC+CE=AE\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(AB+BD=AC+EC\)

\(\Leftrightarrow AD=AE\)

=> \(\Delta ADE\) cân tại A

Ta có : \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có :

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> \(BC//DE\rightarrowđpcm\)

c) Xét \(\Delta ABM,\Delta ACM\) có :

\(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

BM = CM (M là trung điểm của BC)

=> \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)

=> AM là tia phân giác của \(\widehat{A}\) (3)

Ta chứng minh : \(\Delta ABI=\Delta ACI\)

Suy ra : \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) (2 góc tương ứng)

=> AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\) (4)

Từ (3) và (4) => \(AM\equiv AI\)

=> A, M, I thẳng hàng.

=> đpcm

a) DEBF là hình bình hành vì   EB=DF và // với nhau

b) do 2 tam giác CAB và ACD bằng nhau

có  AC (chung) . 2 đường chéo AC và BD nên O là trung điểm của AC

E,  F là trung đểm của AB và CD nên 3 điểm FOF thẳng hàng

ta lại có OE và OF là đường trubg bình của 2 tam giác bằng nhau như ở trên

=> OE=OF => đối xứng qua O

c) do DEvaf BF // nên EM // FN

ta lại có 2 tam giác AME= FNC vì các  góc A=C; E=F (do các cặp góc so le bằng nhau)

=> EM=FN  => EM // FN

vaayjEMFN là hình bình hành