Cho x, y là các số khác 0. Biết x+\(\frac{1}{y}\) và y+\(\frac{1}{x}\)là các số nguyên, chứng tỏ rằng A=x3y3 + \(\frac{1}{x^3+y^3}\)cũng là số nguyên
Cho x,y là các số khác 0. Biết x+(1/y) và y+(1/x) là các số nguyên, chứng tỏ rằng A=x^3×y^3+ 1/x^3×y^3 cũng là số nguyên
Tìm x biết : \(\left(4-\sqrt{15}\right)^x-3\left(4+\sqrt{15}\right)^x=-2\)
Cho x,y là các số thục sao cho \(x+\frac{1}{y}\)và \(y+\frac{1}{x}\)là các số nguyên . Chứng minh rằng : \(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\)là các số nguyên
a) Tìm 3 số x, y, z biết rằng 2x-y=20 và \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}\).
b) Cho a,b,c là các số nguyên khác 0 và \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\). Chứng minh a=b=c.
a)Ta có : \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{2x}{6}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{2x}{6}=\frac{2x-y}{6-4}=\frac{20}{2}=10\)
Từ \(\frac{x}{3}=10=>x=30\)
Từ \(\frac{y}{4}=10=>y=40\)
Từ \(\frac{z}{5}=10=>z=50\)
Vậy x=30,y=40,z=50
b)Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(=>\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=1\\\frac{b}{c}=1\\\frac{c}{a}=1\end{cases}=>\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}=>a=b=c}}\)
Đpcm
a)Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{3}\)= \(\frac{y}{4}\)= \(\frac{z}{5}\)=\(\frac{2x-y}{\left(3\cdot2\right)-5}\)=\(\frac{20}{1}\)=20
-> \(\frac{x}{3}\)= 20 ->x=20*3=60
\(\frac{y}{4}\)=20->y=20*4=80
\(\frac{z}{5}\)=20->z=20*5=100
Vậy x=60, y=80, z=100.
a) Ta có : \(\frac{x}{3}=\frac{2x}{6}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{2x}{6}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{2x-y}{6-4}=\frac{20}{2}=10\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x=10\cdot6=60\Rightarrow x=30\\y=10\cdot4=40\\z=10\cdot5=50\end{cases}}\)
Vậy....
=))
Giúp giải bài này với các bạn ơi.
Cho x, y nguyên khác -1 và \(\frac{x^2-1}{y+1}+\frac{y^2-1}{x+1}\)cũng là số nguyên. Chứng minh rằng : y2x2 - 1 chia hết cho x+1
\(M=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x+1\right)+\left(y^2-1\right)\left(y+1\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\frac{x^3+x^2-x-1+y^3+y^2-y-1}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2+y^2\right)-\left(x+y\right)-2}{xy+x+y+1}=\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y\right)^2-2xy-\left(x+y\right)-2}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+xy+1\right)+x^2\left(x+y\right)+y^2\left(x+y\right)-2xy\left(x+y\right)-2\left(x+y\right)-2xy-2}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+xy+1\right)+\left(x^2+y^2-2xy\right)\left(x+y\right)-2\left(x+y+xy+1\right)}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x+y-2\right)\left(x+y+xy+1\right)+\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)}{xy+x+y+1}=x+y-2+\frac{\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)}{xy+x+y+1}\)
x,y nguyên do đó để \(M\)nguyên thì \(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\)chia hết cho \(xy+x+y+1\)
Dễ thấy \(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\)không thể phân tích thành nhân tử \(xy+x+y+1\)nữa nên \(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)=0\)
Suy ra:
\(\hept{\begin{cases}x-y=0\\x+y=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x=-y\end{cases}}\)
Vậy:
\(x^2y^2-1=x^2.x^2-1=x^4-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)chia hết cho \(\left(x+1\right)\)
Vậy ta có đpcm
1) Cho A=xy(x+y) + yz(y+z) + zx(z+x) +2xyz với x,y,z là các số nguyên lẻ.
Chứng minh A chia hết cho 8
2) Cho A = a+b+c và B = a3 + (b+2020)3 + (c+2021)3 với a,b,c là các số nguyên. Chứng minh A chia hết cho 3 khi và chỉ khi B chia hết cho 3
3) Cho các số thực x,y,z thảo mãn \(0\le x,y,z\le1\). Chứng minh rằng :
\(\frac{x}{1+x+yz}+\frac{y}{1+y+xz}+\frac{z}{1+z+xy}\le\frac{3}{x+y+z}\)
Cho x, y, z là các số nguyên khác 0 và x - y - z =0, tính:
\(A=\left(1-\frac{z}{x}\right)\left(1-\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\)
Ta có:
1-z/x=x/x-z/x=(x-z)/x(1)
1-x/y=y/y-x/y=(y-x)/y(2)
1+y/z=z/z+y/z=(y+z)/z(3)
Mà x-y-z=0( theo đề)
=>x-z=y(*)
x-y=z=>y-x=-z ( số đối) (**)
y+z=x(***)
Thay (*),(**),(***) lần lượt vào (1),(2),(3) ta đc:
A=(1-z/x)(1-x/y)(1+y/z)=(x-z)/x.(y-x)/y.(z+y)/z=y/x.(-z/y).x/z
=y.(-z).x/x.y.z=y.z.(-1).x/x.y.z=-1
Vậy A=-1
1)tìm các số nguyên x và y thỏa mãn:\(y^2=x^2+x+1\)
2)cho các số thực x và y thỏa mãn \(\left(x+\sqrt{a+x^2}\right)\left(y+\sqrt{a+y^2}\right)\)=a
tìm giá trị biểu thức \(4\left(x^7+y^7\right)+2\left(x^5+y^5\right)+11\left(x^3+y^3\right)+2016\)
3)cho x;y là các số thực khác 0 thỏa mãn x+y khác 0
cmr \(\frac{1}{\left(x+y\right)^3}\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\right)+\frac{3}{\left(x+y\right)^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{6}{\left(x+y\right)^5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)\(=\frac{1}{x^3y^3}\)
4)cho a,b,c là các số dương.cmr\(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(a+c\right)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge1\)
a) Tìm các số nguyên x, y biết rằng: \(3-\frac{x}{4}=\frac{1}{y}\)
b) Tìm các số nguyên x để \(-\frac{2240}{6x+3}:1\frac{2}{3}\)là số nguyên.
Cho x,y,z là các số khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu \(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) thì \(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=xyz\)
Ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)
Khi đó ta chứng minh được :
\(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=3x^2y^2z^2\)
Mà \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow\)\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Từ đó ta suy ra :
\(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2-2\left(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3\right)}{x^3+y^3+z^3}\)
\(=\frac{\left(3xyz\right)^2-2.3.x^2y^2z^2}{3xyz}\)
\(=\frac{9x^2y^2z^2-6x^2y^2z^2}{3xyz}\)
\(=xyz\)( ĐPCM )
Hên xui thôi