a) Ta có: AB,BC,CA tỉ lệ với 4;7;5(gt)

nên AB:BC:CA=4:7:5

hay \(\dfrac{AB}{4}=\dfrac{BC}{7}=\dfrac{CA}{5}\)

Ta có: \(\dfrac{AB}{4}=\dfrac{AC}{5}\)(cmt)

nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{5}\)

Xét ΔABC có 

AM là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{AC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

mà \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{5}\)(cmt)

nên \(\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{4}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{MB}{4}=\dfrac{MC}{5}\)

mà MB+MC=BC(M nằm giữa B và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{MB}{4}=\dfrac{MC}{5}=\dfrac{MB+MC}{4+5}=\dfrac{BC}{9}=\dfrac{18}{9}=2\)

Do đó: \(\dfrac{MC}{5}=2\)

hay MC=10(cm)

Vậy: MC=10cm

d) Xét ΔABC có 

CP là đường phân giác ứng với cạnh AB(gt)

nên \(\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{AC}{BC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

Xét ΔABC có 

BN là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{NC}{NA}=\dfrac{BC}{AB}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

Ta có: \(\dfrac{MB}{MC}\cdot\dfrac{NC}{NA}\cdot\dfrac{PA}{PB}\)

\(=\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{BC}{AB}\cdot\dfrac{AC}{BC}\)

\(=\dfrac{AB\cdot AC\cdot BC}{AB\cdot AC\cdot BC}=1\)(đpcm)

a, ta có : tam giác ABC có A=90^o => tam giác ABC là tam giác vuông 

Áp dụng định lí py-ta-go trong tam giác ABC ta có :

                   AB²+AC²=BC²

mà AB=6cm ; AC=8cm

=> 6²+8²=BC²

    BC²=100

=> BC=10 cm

vì cac duong trung tuyen BN;CP cat nhau tai G  ( N c AC ; P c AB)

=> BP=PA=3cm ; AN=NC=4cm 

Áp dụng định lí py-ta-go trong tam giác vuông PAC và tam giác vuông BAN ta có :

     tam giác PAC :                                       tam giác BAN

 BN²=BA²+AN²                                         CP²=AP²+AC²

mà BA=6 cm ;AC=8cm ; AN=4cm ;AP=3cm

=>BN²=6²+4²                                            CP²=3²+8²

=> BN²=52                                                 CP²=73

=>BN=căn 52                                                 CP=căn 73