cho ABC vuông tại A kẻ đường trung tuyến AM Gọi E F lần lượt là điểm đói xứng của M qua AB AC I là giao điểm của AE và ME Hlaf giao điểm của AC và MF
Cho tam giác ABC vuông tại A. AE là đường trung tuyến. Gọi M là điểm đối xứng của E qua AB, I là giao điểm của AB và ME, N đối xứng E qua AC, K là giao điểm AC và NE. a) Chứng minh AE = IK b) Chứng minh M đối xứng N qua A. Vậy thôi ạ, giúp mình với, mai mình thi học kỳ rồi :(
a: E đối xứng M qua AB
nên AB là trung trực của ME
=>AB vuông góc với ME tại trung điểm của ME
=>AB là phân giác của góc EAM(1)
E đối xứng N qua AC
nên AC là trung trực của NE
=>AC vuông góc với NE tại trung điểm của NE
=>AC là phân giác của góc EAN(2)
Xét tứ giác AIEK có
góc AIE=góc AKE=góc KAI=90 độ
nên AIEK làhình chữ nhật
b: Từ (1), (2) suy ra góc NAM=2*90=180 độ
=>N,A,M thẳng hàng
mà AM=AN
nên A là trung điểm của MN
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi H là điểm đối xứng vớ M qua AB, E là giao điểm của MH và AB. Gọi L là điểm đối xứng với M qua AC, F là giao điểm của MK và AC. a) Xác định dạng của tứ giác AEMF, AMBH, AMCK. b) Chứng minh H đối xứng với K qua A. c) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì AEMF là hình vuông ?
Sửa đề: K là điểm đối xứng của M qua AC
a: M đối xứng H qua AB
=>AB là đường trung trực của MH
=>AB vuông góc MH tại trung điểm của MH
=>AB vuông góc MH tại E và E là trung điểm của MH
M đối xứng K qua AC
=>AC là đường trung trực của MK
=>AC vuông góc với MK tại trung điểm của MK
=>AC vuông góc với MK tại F và F là trung điểm của MK
ME\(\perp\)AB
AC\(\perp\)AB
Do đó: ME//AC
MF\(\perp\)AC
AB\(\perp\)AC
Do đó: MF//AB
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
ME//AC
Do đó: E là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
MF//AB
Do đó: F là trung điểm của AC
Xét tứ giác AEMF có
\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{FAE}=90^0\)
=>AEMF là hình chữ nhật
Xét tứ giác AMBH có
E là trung điểm của AB và MH
Do đó: AMBH là hình bình hành
Hình bình hành AMBH có MH\(\perp\)AB
nên AMBH là hình thoi
Xét tứ giác AMCK có
F là trung điểm chung của AC và MK
=>AMCK là hình bình hành
Hình bình hành AMCK có AC\(\perp\)MK
nên AMCK là hình thoi
b: AMBH là hình thoi
=>AB là phân giác của góc MAH
=>\(\widehat{MAH}=2\cdot\widehat{BAM}\)
AMCK là hình thoi
=>AC là phân giác của góc MAK
=>\(\widehat{MAK}=2\cdot\widehat{MAC}\)
\(\widehat{MAH}+\widehat{MAK}=\widehat{KAH}\)
=>\(\widehat{KAH}=2\cdot\left(\widehat{MAB}+\widehat{MAC}\right)\)
=>\(\widehat{KAH}=2\cdot90^0=180^0\)
Do đó: K,A,H thẳng hàng
mà AH=AK(=AM)
nên A là trung điểm của HK
c: Để hình chữ nhật AEMF trở thành hình vuông thì AE=AF
mà \(AE=\dfrac{AB}{2};AF=\dfrac{AC}{2}\)
nên AB=AC
Cho tam giác ABC vuông tại A ,đường trung tuyến AM.Gọi H là điểm đói xứng với M qua AB,E là giao điểm của MH và AB .Gọi K là điểm đói xứng với M qua AC,F là giao điểm MK và AC
a)Các tứ giác AEMF,AMBH ,AMKC là hình gì?Vì sao?
b)CHứng minh H đới xứng với K qua A
c)Tam giác vuông ABC cần thêm điều kiện gì thì thứ giác AEMF là hình vuông
a: Ta có: H và M đối xứng nhau qua AB
nên AB là đường trung trực của HM
Suy ra: AB\(\perp\)HM và E là trung điểm của HM
Ta có: M và K đối xứng nhau qua AC
nên AC là đường trung trực của MK
Suy ra: AC\(\perp\)MK và F là trung điểm của MK
Xét tứ giác AEMF có
\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{EAF}=90^0\)
Do đó: AEMF là hình chữ nhật
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
ME//AC
Do đó: E là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
MF//AB
Do đó: F là trung điểm của AC
Xét tứ giác AMBH có
E là trung điểm của đường chéo MH
E là trung điểm của đường chéo AB
Do đó: AMBH là hình bình hành
mà MH\(\perp\)AB
nên AMBH là hình thoi
Xét tứ giác AMCK có
F là trung điểm của đường chéo MK
F là trung điểm của đường chéo AC
Do đó: AMCK là hình bình hành
mà AC\(\perp\)MK
nên AMCK là hình thoi
Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi M là trung điểm của BC . Từ M , kẻ ME , MF lần lượt vuông góc với AB , AC
a) Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật
b) Gọi O là giao điểm của AM và EF ; K là điểm đối xứng với M qua AC . Chứng minh 3 điểm B , O , K thẳng hàng
c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ABCK là hình thang cân . Khi đó nếu AM = 5cm , hãy tính diện tích của tam giác ABC
a: Xét tứ giác AEMF có
\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{FAE}=90^0\)
=>AEMF là hình chữ nhật
b: Ta có: AEMFlà hình chữ nhật
=>AM cắt EF tại trung điểm của mỗi đường và AM=EF
=>O là trung điểm chung của AM và EF
K đối xứng M qua AC
=>AC vuông góc MK tại trung điểm của MK
ta có: AC\(\perp\)MK
AC\(\perp\)MF
MK,MF có điểm chung là M
Do đó: M,K,F thẳng hàng
=>F là trung điểm của MK
Xét ΔABC có MF//AB
nên \(\dfrac{MF}{AB}=\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{1}{2}\)
mà \(\dfrac{MF}{MK}=\dfrac{1}{2}\)(F là trung điểm của MK)
nên \(MK=AB\)
Xét tứ giác ABMK có
AB//MK
AB=MK
Do đó: ABMK là hình bình hành
=>AM cắt BK tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của AM
nên O là trung điểm của BK
=>B,O,K thẳng hàng
c: Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
MF//AB
Do đó: F là trung điểm của AC
Xét tứ giác AMCK có
F là trung điểm chung của AC và MK
=>AMCK là hình bình hành
Hình bình hành AMCK có AC\(\perp\)MK
nên AMCK là hình thoi
=>AK//CM và CA là phân giác của góc KCM
=>AK//CB
Xét tứ giác ABCK có AK//BC
nên ABCK là hình thang
Để ABCK là hình thang cân thì \(\widehat{KCM}=\widehat{ABC}\)
=>\(\widehat{ABC}=2\cdot\widehat{ACB}\)
mà \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
nên \(\widehat{ABC}=\dfrac{2}{3}\cdot90^0=60^0;\widehat{ACB}=90^0-60^0=30^0\)
Ta có: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên BC=2AM=10(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có \(sinB=\dfrac{AC}{BC}\)
=>\(AC=10\cdot sin60=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot CA\cdot CB\cdot sinACB\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot5\sqrt{3}\cdot10\cdot sin30=5\cdot5\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{25\sqrt{3}}{2}\left(cm^2\right)\)
Cho tam giác ABC vuông tại A kẻ AH vuông góc BC gọi E là điểm đối xứng của H qua AB, F là điểm đối xứng của H qua AC, M là giao điểm của AB và EH, N là giao điểm của AC qua HF Vẽ đường trung tuyến Al. CM Al vuông góc MN
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Từ
M kẻ ME, MF lần lượt vuông góc với AB và AC (E thuộc AB, F thuộc AC).
a) Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) Lấy điểm K đối xứng với điểm M qua F. Chứng minh F là trung điểm của AC và
tứ giác AMCK là hình thoi.
c) Gọi O là giao điểm của AM và EF. Chứng minh tứ giác ABMK là hình bình hành
và ba điểm B, O, K thẳng hàng.
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ABCK là hình thang cân.
a: Xét tứ giác AEMF có
\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{FAE}=90^0\)
Do đó: AEMF là hình chữ nhật
Câu 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 2AB , kẻ đường trung tuyên AM . Gọi D là điểm đổi xứng của A qua M . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BD ; AC . Gọi E là điểm đối xứng của M qua K.Đường thẳng AE cắt đường thẳng CD tại F. Chứng minh tứ giác ABIK là hình vuông và ba điểm K, M, I thẳng hàng b. Chứng minh tứ giác AMCE là hình thoi . a. Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật
Cho tam giác vuông ABC (A = 90°). Lấy M bất kì trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng với M qua AB và AC. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của MẸ với AB và MF với AC. Chứng minh:
a) MIAK là hình chữ nhật.
b) A là trung điểm của EF.
a: M đối xứng E qua AB
=>AB là đường trung trực của ME
=>AB\(\perp\)ME tại I và I là trung điểm của ME
Ta có: M đối xứng F qua AC
=>AC là đường trung trực của MF
=>AC\(\perp\)MF tại K và K là trung điểm của MF
Xét tứ giác AIMK có
\(\widehat{AIM}=\widehat{AKM}=\widehat{KAI}=90^0\)
=>AIMK là hình chữ nhật
b: Ta có: AKMI là hình chữ nhật
=>AK//MI và AK=MI; KM//AI và KM=AI
Ta có: MI//AK
I\(\in\)ME
Do đó: IE//AK
Ta có: AK=IM
IM=IE
Do đó: AK=IE
Ta có: AI=MK
MK=KF
Do đó: AI=KF
Ta có: AI//MK
K\(\in\)MF
Do đó: AI//KF
Xét tứ giác AKIE có
AK//IE
AK=IE
Do đó: AKIE là hình bình hành
=>KI//AE và KI=AE
Xét tứ giác AIKF có
AI//KF
AI=KF
Do đó: AIKF là hình bình hành
=>KI//AF và KI=AF
Ta có: KI//AF
KI//AE
AE,AF có điểm chung là A
Do đó: E,A,F thẳng hàng
Ta có: KI=AE
KI=AF
Do đó: AE=AF
mà E,A,F thẳng hàng
nên A là trung điểm của EF