Hai biến cố A và B được gọi là độc lập khi việc xảy ra hoặc không xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến việc xảy ra hoặc không xảy ra của biến cố B và ngược lại

Vd: Biến cố A:"Chọn một số chẵn trong 5 số tự nhiên đầu tiên"

Biến cố B:"Chọn một số lẻ trong 5 số tự nhiên đầu tiên"

Giả sử có hai cấp số cộng (un) với công sai d1 và (vn) với công sai d2.

Xét dãy (an) với an = un + vn

Ta có: an + 1 – an = (un + 1 + vn + 1) – (un + vn)

= (un + d1 + vn + d2) – (un + vn)

= d1 + d2 = const

⇒(an) là cấp số cộng với công sai d1 + d2.

Ví dụ:

CSC (un): 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; …. có công sai d1 = 3 ;

CSC (vn): 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 … có công sai d2 = 2.

⇒ (an): 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; … có công sai d = 5.

Giả sử có hai cấp số nhân (un) với công bội q1 và (vn) với công bội q2.

Xét dãy số (an) với an = un.vn với mọi n ∈ N*.

Ta có:

⇒ (an) là cấp số nhân với công bội q1.q2.

Ví dụ:

+ CSN (un) : 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; … có công bội q1 = 2.

+ CSN (vn) : -1 ; 1 ; -1 ; 1 ; -1 ; 1 ; … có công bội q2 = -1.

⇒ CSN (an) : -2 ; 4 ; -8 ; 16 ; -32 ; 64 ; … có công bội q = -2.

Gọi (u_n) và (a_n) là hai cấp số cộng có công sai lần lượt là \(d_1\) và d₂ và có cùng n số hạng.

Ta có:

u_n = u₁ + (n -1) d₁

a_n = a₁ + (n – 1)d₂

⇒ u_n + a_n = u₁ + a₁ + (n – 1).(d₁ + d₂)

Vậy u_n + a_n là cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ + a₁ và công sai là d₁ + d₂

Ví dụ:

1, 3, 5, 7 ,.... là cấp số cộng có công sai d₁ = 2

0, 5, 10, 15,.... là cấp số cộng có công sai d₂ = 5

⇒ 1, 8, 15, 22 ,... là cấp số cộng có công sai là d = d₁ + d₂ = 2 + 5 = 7

a_n= a₁. q₁^n-1, q₁ là hằng số

b_n= \(b_1q_2^{n-1}\), q₂ là hằng số

Khi đó: a_n.b_n = = a₁. q₁^n-1. b₁. q₁^n-1 = (a₁b₁)(q₁q₂)^n-1

Vậy dãy số a_nb_n là một cấp số nhân có công bội : q = q₁q₂

Ví dụ:

1, 2, 4 ,... là cấp số nhân có công bội q₁ = 2

3, 9, 27, .... là cấp số nhân có công bội q₂ = 3

⇒ Suy ra: 3, 8, 108.. là cấp số nhân có công bội: q = q₁q₂ = 2.3 = 6

- Lực là tác dụng đẩy ( hoặc kéo ) của vật này lên vật khác.

- Lực tác dụng lên một vật có thể làm biến đổi chuyển động của vật hoặc làm cho vật bị biến dạng.

VD: Dùng tay kéo lò xo làm lò xo bị dãn ra.

- Phân biệt:

+ Lực tiếp xúc xuất hiện khi vật gây ra lực có sự tiếp xúc với vật chịu tác dụng lực.

VD: Lực kéo của con bò để kéo xe,...

+ Lực không tiếp xúc xuất hiện khi vật gây ra lực không có sự tiếp xúc với vật chịu tác dụng lực.

VD: Nam châm hút viên bi sắt,...