a: Xét tứ giác MAOB có

\(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)

=>MAOB là tứ giác nội tiếp

=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn

b; Xét (O) có

MA,MB là tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB

Xét (O) có

OC là bán kính

FC\(\perp\)CO tại C

Do đó: FC là tiếp tuyến của (O)

Xét (O) có

FC,FA là các tiếp tuyến

Do đó: FC=FA và OF là phân giác của góc AOC

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB và OM là phân giác của góc AOB

Ta có: OF là phân giác của góc AOC

=>\(\widehat{AOC}=2\cdot\widehat{AOF}\)

Ta có: OM là phân giác của góc AOB

=>\(\widehat{AOB}=2\cdot\widehat{AOM}\)

Ta có: \(\widehat{AOB}+\widehat{AOC}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{AOF}+\widehat{AOM}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{FOM}=180^0\)

=>\(\widehat{FOM}=90^0\)

Xét ΔFOM vuông tại O có OA là đường cao

nên \(AF\cdot AM=OA^2\)

mà AF=CF và BM=MA

nên \(CF\cdot MB=OA^2=R^2\)

a: Xét (O) có 

MA là tiếp tuyến

MB là tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

hay M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

nên O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB

hay MO⊥AB

Xét (\(\dfrac{MO}{2}\)) có 

ΔOAM nội tiếp đường tròn

OM là đường kính

Do đó: ΔOAM vuông tại A

hay MA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm của (O) 

Xét \(\left(\dfrac{OM}{2}\right)\) có

ΔOBM nội tiếp đường tròn

OM là đường kính

Do đó: ΔOBM vuông tại B

hay MB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm của (O)

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB

b: Xét ΔOAM vuông tại A có \(sinAMO=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{AMO}=30^0\)

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MO là phân giác của góc AMB

=>\(\widehat{AMB}=2\cdot\widehat{AMO}=60^0\)

Xét ΔMAB có MA=MB và \(\widehat{AMB}=60^0\)

nên ΔMAB đều

c: Xét (O) có

CA,CP là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CP và OC là phân giác của góc AOP

Xét (O) có

DB,DP là các tiếp tuyến

Do đó; DB=DP và OD là phân giác của góc BOP

ΔOAM vuông tại A

=>\(OA^2+AM^2=OM^2\)

=>\(AM^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

=>\(AM=R\sqrt{3}\)

Chu vi tam giác MCD là:

\(C_{MCD}=MC+CD+MD\)

\(=MC+CP+MD+DP\)

\(=MC+CA+MD+DB\)

=MA+MB=2MA=\(=R\sqrt{3}\cdot2=2R\sqrt{3}\)

d: Ta có: OC là phân giác của góc AOP

=>\(\widehat{AOP}=2\cdot\widehat{COP}\)

Ta có: OD là phân giác của góc BOP

=>\(\widehat{BOP}=2\cdot\widehat{DOP}\)

Xét tứ giác OAMB có

\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}+\widehat{AMB}+\widehat{AOB}=360^0\)

=>\(\widehat{AOB}+60^0+90^0+90^0=360^0\)

=>\(\widehat{AOB}=120^0\)

Ta có: \(\widehat{AOP}+\widehat{BOP}=\widehat{AOB}\)

=>\(2\cdot\left(\widehat{COP}+\widehat{DOP}\right)=120^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=60^0\cdot2\)

=>\(\widehat{COD}=60^0\)