a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn
Xét tứ giác MAOB có: \(\widehat{MAO}=90\text{°}\) (MA là tiếp tuyến của (O)); \(\widehat{MBO}=90\text{°}\) (MB là tiếp tuyến của (O))
→ \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=180\text{°}\)
mà \(\widehat{MAO}\) và \(\widehat{MBO}\) là hai góc đối nhau
→ Tứ giác MAOB nội tiếp (dhnb) (đpcm)

b) Chứng minh MA.AB = 2MH.AO
Ta có: OA = OB (A, B ∈ (O))
→ O thuộc đường trung trực của AB (1)
Lại có: MA = MB (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
→ M thuộc đường trung trực của AB (2)
Từ (1) và (2) → OM là đường trung trực của AB
→ OM ⊥ AB tại H và H là trung điểm của AB
→ \(\widehat{MHA}=90\text{°}\) và AB = 2AH
Xét ∆MAO và ∆MHA có: \(\widehat{MAO}=\widehat{MHA}=90\text{°}\); \(\widehat{M}\) chung
→ ∆MAO ∼ ∆MHA (g.g) → \(\dfrac{MA}{MH}=\dfrac{AO}{HA}\) (cặp cạnh tương ứng)
→ MA.HA = MH.AO
→ 2MA.HA = 2MH.AO
Mà AB = 2AH (cmt) → MA.AB = 2MH.AO (đpcm)

a: Xet (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

=>ΔACB vuông tại C

Xét ΔCAB vuông tại C co CH là đường cao

nên AC^2=AH*AB

=>AB=20^2/8=25cm

=>AO=12,5cm

b: ΔOCD cân tại O

mà OM là đường cao

nênOM là phân giác của góc COD

Xét ΔMCO và ΔMDO có

OC=OD

góc COM=góc DOM

OM chung

=>ΔMCO=ΔMDO

=>góc MDO=90 độ

=>MD là tiếp tuyến của (O)

Xét ΔOCM vuông tại C có CH là đường cao

nên HO*HM=HC^2

mà HC^2=HA*HB

nên HO*HM=HA*HB

a) Xét (O) có 

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

Do đó: CM=CA(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (O) có 

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: DB=DM(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: CD=CM+DM(M nằm giữa C và D)

mà CM=CA(cmt)

và DM=DB(cmt)

nên CD=CA+DB

Hình vẽ:

a, \(AH\perp MC\Rightarrow AH=HD\)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}OA=OD\\HA=HD\end{matrix}\right.\Rightarrow OM\) là trung trực của \(AD\)

\(\Rightarrow MA=MD\Rightarrow\Delta OAM=\Delta ODM\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow MD\perp OD\)

Hay MD là tiếp tuyến

b, \(\Delta OAM\) vuông tại A

\(\Rightarrow O;A;M\) thuộc đường tròn đường kính OM

Lại có \(\Delta ODM\) vuông tại D

\(\Rightarrow O;D;M\) thuộc đường tròn đường kính OM

Dễ chứng minh được B là trung điểm OM

\(\Rightarrow M;A;O;D\in\left(B;R\right)\)

c, Vì \(\widehat{BAC}=90^o\Rightarrow\Delta BAC\) vuông tại A

\(\Rightarrow HB.HC=HA^2\)

Mà \(\Delta OAM\) vuông tại A \(\Rightarrow HM.HO=HA^2\)

\(\Rightarrow HB.HC=HM.HO\)