Lời giải:

$A=(x+y)(x^2-xy+y^2)+x^2+y^2=2(x^2-xy+y^2)+x^2+y^2=2(x^2+y^2)+(x-y)^2$

$\geq 2(x^2+y^2)=(1^2+1^2)(x^2+y^2)\geq (x+y)^2=2^2=4$ (theo BĐT Bunhiacopxky)

Vậy $A_{\min}=4$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$

Bài 1:

Ta thấy: $(x+\frac{1}{2})^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow (x+\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}\geq \frac{5}{4}$

Vậy gtnn của biểu thức là $\frac{5}{4}$

Giá trị này đạt tại $x+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$

Bài 2:

$x+y-3=0\Rightarrow x+y=3$
\(M=x^2(x+y)-(x+y)x^2-y(x+y)+4y+x+2019\)

\(=-3y+4y+x+2019=x+y+2019=3+2019=2022\)

áp án B

Ta có: log 3 x + 1 y + 1 y + 1 = 9 − x − 1 y + 1 ⇔ y + 1 log 3 x + 1 y + 1 + x − 1 y + 1 = 9

⇔ y + 1 log 3 c + 1 y + 1 + x + 1 y + 1 − 2 y = 11

⇔ y + 1 log 3 c + 1 y + 1 − 2 = 9 − x + 1 y + 1       *

 Nếu   x + 1 y + 1 > 9 ⇒ V T * > 0 ;   V P * < 0

Ngược lại nếu   x + 1 y + 1 < 9 ⇒ V T * < 0 ;   V P * > 0

Do đó   * ⇔ x + 1 y + 1 = 9 ⇔ x y + x + y = 8

Khi đó   P = x + y 3 − 3 x y x + y − 57 x + y = x + y 3 − 3 8 − x − y x + y − 57 x + y

Đặt   t = x + y ≥ 2 ⇒ f t = t 3 − 3 8 − t t − 57 t = t 3 + 3 t 2 − 81 t

⇒ f ' t = 3 t 2 + 6 t − 81 = 0 ⇒ t = − 1 + 2 7 ⇒ P min = f − 1 + 2 7 = 83 − 112 7 ⇒ a + b = − 29

Đáp án C

Ta có: T = x 3 + y 3 − x 2 + y 2 x − 1 y − 1 = x 2 x − 1 + y 2 y − 1 x − 1 y − 1 = x 2 y − 1 + y 2 x − 1

Do   x > 1 , y > 1 nên  x − 1 > 0 ,   y − 1 > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương  x 2 y − 1 ,   y 2 x − 1 ta có:

x − 1 + 1 ≥ 2 x − 1 ⇔ x − 1 − 1 2 ≥ 0 ⇔ x − 2 x − 1 ≥ 0 ⇔ x x − 1 ≥ 2 y − 1 + 1 ≥ 2 y − 1 ⇔ y − 1 − 1 2 ≥ 0 ⇔ y − 2 y − 1 ≥ 0 ⇔ x y − 1 ≥ 2

Do đó: T = x 2 y − 1 + y 2 x − 1 ≥ 2 x y x − 1 . y − 1 ≥ 8

Dấu “=” xẩy ra khi  x 2 y − 1 = y 2 x − 1 x − 1 = 1 y − 1 = 1 ⇔ x = 2 y = 2   (thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thứcT= 8 khi x=y= 2

Ta có : \(\left(x^2-9\right)^2+\left|y-3\right|-1\)

Thấy : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-9\right)^2\ge0\\\left|y-3\right|\ge0\end{matrix}\right.\) \(\forall x,y\in R\)

\(\Rightarrow\left(x^2-9\right)^2+\left|y-3\right|\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-9\right)^2+\left|y-3\right|-1\ge-1\)

Vậy Min = -1 <=> \(\left[{}\begin{matrix}y=3\\x=\pm3\end{matrix}\right.\)