Tam giác vuông cân là tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau. Gọi độ dài cạnh góc vuông là x (cm) (x > 0)

Áp dụng định lí pitago ta có:

x2 +x2 =(√2)2⇒ 2x2 = 2 => x2 =1

=> x=1cm

Gọi ba cạnh của ▲ là a,b,c>0
Giả sử cạnh huyền ▲ là a thì:
a² =b²+c² <=> b²+c²=13² =169 (1)
chu vi ▲ là 30 <=> a+b+c =30 <=> b+c = 30-13=17
<=> c= 17-b (2)
thay (2) vào (1) đc:
b² + (17-b)² =169 <=> b² -17b + 60 = 0
<=> (b-12)(b-5) = 0
<=> b=5 hoặc b=12
tương ứng c=12 và c=5
Vậy hai cạnh góc vuông dài 5m và 12m

Theo đề, ta có:

\(5^2+\left(a-1\right)^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow a^2=a^2-2a+1+25\)

=>a=13

Gọi độ dài cạnh góc vuông thứ nhất là x(cm)

=>Độ dài cạnh góc vuông thứ hai là x+4(cm)

Độ dài cạnh huyền là 8cm nên ta có: \(x^2+\left(x+4\right)^2=8^2\)

=>\(x^2+x^2+8x+16-64=0\)

=>\(2x^2+8x-48=0\)

=>\(x^2+4x-24=0\)

=>\(x^2+4x+4-28=0\)

=>\(\left(x+2\right)^2=28\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+2=2\sqrt{7}\\x+2=-2\sqrt{7}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\sqrt{7}-2\left(nhận\right)\\x=-2\sqrt{7}-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Độ dài cạnh góc vuông thứ hai là:

\(2\sqrt{7}-2+4=2\sqrt{7}+2\left(cm\right)\)

Diện tích tam giác vuông ABC là:

\(\dfrac{1}{2}\left(2\sqrt{7}-2\right)\left(2\sqrt{7}+2\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(28-4\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot24=12\left(cm^2\right)\)

Gọi số đo độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là x(cm), y (cm)

( 0 < y < x < 10)

Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 2cm nên ta được x – y = 2 , (1).

Theo định lý Pytago ta có:  x 2   +   y 2   =   10 2   =   100   ( 2 )

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Từ (1) suy ra: x= y+ 2 thay vào (2) ta được:

( y + 2 ) 2 + y 2 = 100 ⇔ y 2 + 4 y + 4 + y 2 = 100 ⇔ 2 y 2 + 4 y − 96 = 0  hay  y 2 + 2 y − 48 = 0

Giải ra ta được: y 1   =   6 ;   y 2   =   - 8   <   0 ( loại)

Với y= 6 suy ra x = 8.

Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 6cm và 8cm.