theo bài ra ta có 
n = 8a +7=31b +28 
=> (n-7)/8 = a 
b= (n-28)/31 
a - 4b = (-n +679)/248 = (-n +183)/248 + 2 
vì a ,4b nguyên nên a-4b nguyên => (-n +183)/248 nguyên 
=> -n + 183 = 248d => n = 183 - 248d (vì n >0 => d<=0 và d nguyên ) 
=> n = 183 - 248d (với d là số nguyên <=0) 
vì n có 3 chữ số lớn nhất => n<=999 => d>= -3 => d = -3 
=> n = 927

Với [x>1x<−1] ta có: x3<x3+2x2+3x+2<(x+1)3⇒x3<y3<(x+1)3 (không xảy ra)
Từ đây suy ra −1≤x≤1
Mà x∈Z⇒x∈{−1;0;1}
∙ Với x=−1⇒y=0
∙ Với x=0⇒y=2√3 (không thỏa mãn)
∙ Với x=1⇒y=2
Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên (x;y) là (−1;0) và (1;2) 

x=-1,y=0

THAM Khảo

Xét trên tập số tự nhiên

- Với \(y=0\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa mãn

- Với \(y=1\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa mãn

- Với \(y=2\Rightarrow x=1\)

- Với \(y\ge2\Rightarrow2^y⋮8\)

\(\Rightarrow5^x-1⋮8\)

Nếu \(x\) lẻ \(\Rightarrow x=2k+1\Rightarrow5^x=5.25^k\equiv5\left(mod8\right)\) \(\Rightarrow5^x-1\equiv4\left(mod8\right)\) ko chia hết cho 8 (ktm)

\(\Rightarrow x\) chẵn \(\Rightarrow x=2k\)

\(\Rightarrow5^x=5^{2k}=25^k\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow5^x-1\equiv0\left(mod3\right)\Rightarrow5^x-1⋮3\Rightarrow2^y⋮3\) (vô lý)

Vậy với \(y\ge3\) ko tồn tại x;y thỏa mãn

Có đúng 1 cặp thỏa mãn là \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

\(5^x-2^y=1\left(a\right)\left(x;y\in N\right)\)

Ta thấy với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\) thì \(\left(a\right)\) thỏa mãn

\(\left(a\right)\Leftrightarrow5^x-1=2^y\)

Với \(y\ge3\left(y\in N\right)\)

\(\Rightarrow5^x-1=2^y⋮8\left(b\right)\)

- Nếu \(x=2k\left(k\in N\right)\) (x là số chẵn)

\(\Rightarrow5^x-1=25^k-1⋮3\left(25^k\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow25^k-1\equiv0\left(mod3\right)\right)\)

\(\Rightarrow\left(b\right)\) không thỏa mãn

- Nếu \(x=2k+1\left(k\in N\right)\) (x là số lẻ)

\(\Rightarrow5^x-1=5.25^k-1\equiv4\left(mod8\right)\left(5.25^k\equiv5\left(mod8\right)\right)\)

Nên với \(y\ge3\) không tồn tại \(\left(x;y\right)\) thỏa mãn \(\left(a\right)\)

Vậy có đúng 1 cặp nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\) thỏa mãn đề bài