a: Xét ΔABC có 

\(\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)=180^0-60^0=120^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=60^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BIC}=120^0\)

a, 

ta có 

A + B+ C = \(180^0\)

B + C  = \(180^0\)-  A

mà BI là phân giác góc B

IBC = \(\frac{1}{2}\)B

CI là phân giác góc C 

ICB = \(\frac{1}{2}\)C

suy ra 

IBC + ICB = \(\frac{1}{2}\)B + \(\frac{1}{2}\)C = \(\frac{1}{2}\)( B + C ) = \(\frac{1}{2}\)( \(180^0\)- A ) = \(\frac{1}{2}\) \(\left(180^0-60^0\right)\)= \(60^0\)

mà IBC + ICB + BIC = \(180^0\)

suy ra BIC = \(180^0\)- ( IBC + ICB )

          BIC = \(180^0\)- \(60^0\) 

          BIC = \(120^0\)

b,

ta có vì I là giao điểm của phân giác góc B và C 

suy ra phân giác góc A đi qua I suy ra tia AI trùng tia IF suy ra AF là phần giác góc A mà I cách đều AB ; AC ; BC 

nên IE = ID = IF

c,

ta có EIB + BIC =\(180^0\) 

       EIB = \(180^0-120^0\)

     EIB = \(60^0\)

    Mà EIB đối đỉnh góc DIC 

suy ra DIC = EIB =  \(60^0\)

vì IF là tia phân giác góc BIC 

nên BIF = CIF = \(\frac{1}{2}\)\(120^0\)= \(60^0\)

EIF = BIE + BIF = \(60^0+60^0=120^0\)

DIF = DIC + CIF =  \(60^0+60^0=120^0\)

xét tam giác EIF và DIF có 

EIF = DIF = \(120^0\)

IF là cạnh chung 

IE = ID 

suy ra tam giác EIF = tam giác DIF ( c-g-c )

suy ra EF = DF 

ta có góc BIC đối đỉnh góc EID 

nên BIC = EID = \(120^0\)

xét tam giác EIF và EID có 

EID = EIF =\(120^0\)

ID = IF 

IE cạnh chung 

suy ra tam giác DIE = tam giác FIE ( c-g-c )

suy ra ED = EF 

mà EF = DF 

suy ra ED = EF = DF

suy ra tam giác EDF là tam giác đều 

d,

ta có IE = IF = ID 

nên I cách đều 3 đỉnh tam giác DFE nên I là giao điểm của 3 đường trung trực tam giác DEF 

mà trong tam giác đều 3 đường trung trực đồng thời là 3 đường phân giác của tam giác đó 

suy ra I là giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác ABC vá DEF

Ta có hình vẽ:

Vẽ IR là phân giác của BIC => BIR = CIR = \(\frac{BIC}{2}\)

Vì BI là phân giác của ABC nên ABI = CBI = \(\frac{ABC}{2}\)

CI là phân giác của BCA nên BCI = ACI = \(\frac{ACB}{2}\)

Δ ABC có: ABC + BAC + BCA = 180^o

=> ABC + 60^o + BCA = 180^o

=> ABC + BCA = 180^o - 60^o = 120^o

=> \(\frac{ABC}{2}+\frac{BCA}{2}=\frac{120^o}{2}=60^o\)

=> IBC + BCI = 60^o

Xét Δ BIC có: BIC + IBC + BCI = 180^o

=> BIC + 60^o = 180^o

=> BIC = 180^o - 60^o = 120^o

=> \(\frac{BIC}{2}=\frac{120^o}{2}\)

=> BIR = RIC = 60^o

Ta có: BIC + BIF = 180^o (kề bù) (*)

=> 120^o + BIF = 180^o

=> BIF = 180^o - 120^o = 60^o

Xét Δ BIF và Δ BIR có:

FBI = RBI (gt)

BI là cạnh chung

BIF = BIR = 60^o

Do đó, Δ BIF = Δ BIR (g.c.g)

=> Δ BIF = Δ BIR (g.c.g)

=> IE = IR (2 cạnh tương ứng) (1)

Ta có: BIC + CIE = 180^o (kề bù)

Kết hợp với (*) => BIF = CIE = 60^o

Xét Δ ICR và Δ ICE có:

RCI = ECI (gt)

IC là cạnh cung

RIC = EIC = 60^o

Do đó, Δ ICR = Δ ICE (g.c.g)

=> IR = IE (2 cạnh tương ứng)

Từ (1) và (2) => IF = IE (đpcm)