6ⁿ : (-2)ⁿ = kⁿ

(6 : -2)ⁿ = kⁿ

-3ⁿ = kⁿ

Vậy k = -3 

bang -3 nhe

6ⁿ:(-2)ⁿ=[6:(-2)]ⁿ=-3ⁿ=>k=-3

vd: n=1 

Ta có : 6^1 / (-2)^1=-3

\(A=\dfrac{1}{6}xy^{7-n+2}z^{n-3}-x^{n-2-4}y^{8-n+2}\)

\(=\dfrac{1}{6}xy^{9-n}z^{n-3}-x^{n-6}y^{10-n}\)

Để đây là phép chia hết thì 9-n>=0 và n-3>=0 và n-6>=0 và 10-n>=0

=>n<=9 và n>=6

=>n thuộc {6;7;8;9}

\(6^n:\left(-2\right)^n=k^n\)

\(\left[6:\left(-2\right)\right]^n=k^n\)

\(\Rightarrow6:\left(-2\right)=k\)

\(\Rightarrow k=-3\)

a) \(\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2+\left(n+3\right)^2=\left(n+10\right)^2\)

\(\Leftrightarrow n^2+2n+1+n^2+4n+4+n^2+6n+9=n^2+20n+100\)

\(\Leftrightarrow2n^2-8n-86=0\)

\(\Leftrightarrow n^2-4n=43\)

Ta có: \(n^2-4n=n^2-n-3n=n\left(n-1\right)-3n\)

\(n\left(n-1\right)\)là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên khi chia cho \(3\)dư \(0\)hoặc \(2\).

Suy ra \(n^2-4n\)chia cho \(3\)dư \(0\)hoặc \(2\).

Mà \(43\)chia cho \(3\)dư \(1\)

do đó phương trình đã cho không có nghiệm tự nhiên. 

b) Ta có: \(n^2+h^2+b^2+k^2+n+h+b+k=\left(n^2+n\right)+\left(h^2+h\right)+\left(b^2+b\right)+\left(k^2+k\right)\)

\(=n\left(n+1\right)+h\left(h+1\right)+b\left(b+1\right)+k\left(k+1\right)\)chia hết cho \(2\).

mà \(n+h+b+k\)chia hết cho \(6\)nên chia hết cho \(2\)

suy ra \(n^2+h^2+b^2+k^2\)chia hết cho \(2\)suy ra không phải là số nguyên tố 

(do \(n^2+h^2+b^2+k^2>2\)).

Ta có: \(\hept{\begin{cases}4k\equiv-1\left(modp\right)\\4k-1\equiv-2\left(modp\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(4k\right)!\equiv\left[\left(2k\right)!\right]^2\left(modp\right)\)

Theo định lý Wilson kết hợp với định lý Fecma nhỏ ta có:

Với \(n=4k\left(2k\right)!\) thì:

\(2^n-1\left[2^{\left(2k\right)!}\right]^{4k}-1\equiv0\left(modp\right)\)

\(\Rightarrow n^2+2^n=\left[4k.\left(2k\right)!\right]^2+2^{4k\left(2k\right)!}\equiv0\left(modp\right)\)

\(\Rightarrow\) Có vô số giá trị của \(n\) thỏa mãn.

Viết rõ đề ra đc không?

Ta có (a^k+b^k)\(⋮\)(a+b) với k = 2t+1, t\(\in\)N, a²+b²\(\ne\)0

A=1^k+2^k+...+(n-1)^k+n^k ; 2B=2(1+2+...+n)=n(n+1)

2A=[(1^k+n^k)+(2^k+(n-1)^k+... ]\(⋮\)(n+1)

2A=2[(1^k+(n-1)^k)+(2^k+(n-2)^k)+...+n^k ] \(⋮\)n

Vậy A \(⋮\)B

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2\)

Có ƯCLN (2,3) = 1

Nên: \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2.3=6\)

Lại có: \(1=\frac{6}{6}⋮6\)

Vậy: \(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}+1\)