a) \(\frac{15n^2+8n+6}{30n^2+21+13}\)
Gọi d là ước chung lớn nhất của \(15n^2+8n+6\) và \(30n^2+21+13\)
⇒ \(15n^2+8n+6⋮d\) ;\(30n^2+21+13⋮d\)
Ta có:
\(15n^2+8n+6⋮d\)
⇒ \(30n^2+16n+12⋮d\)
Mà \(30n^2+21n+13⋮d\)
⇒ \(5n+1⋮d\) (1)
⇒ \(3n\left(5n+1\right)\text{ =}15n^2+3n⋮d\)
⇒ \(15n^2+8n+6-15n^2-3n=5n+6⋮d\)(2)
Từ (1) và (2), ta có:
\(5⋮d\)
mà \(5n+6=5\left(n+1\right)+1⋮d\)
Nên 1 ⋮ d
⇒ ĐPCM.

a, \(A=\dfrac{n+5}{n+4}=\dfrac{n+4+1}{n+4}=1+\dfrac{1}{n+4}\Rightarrow n+4\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

b, đk n khác 4

Gọi ƯCLN (n+5;n+4) = d ( d\(\in Z\)) 

n + 5 - n - 4 = 1 => d = 1 

Vậy A là phân số tối giản với mọi giá trị nguyên, n khác 4 

A = \(\dfrac{2n+1}{8n+6}\)  (n \(\ne\) - \(\dfrac{3}{4}\))

Gọi ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 8n + 6 là d

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\8n+6⋮d\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}8n+4⋮d\\8n+6⋮d\end{matrix}\right.\) 

Trừ vế cho vế ta được:  8n + 6 - 8n - 4 ⋮ d ⇒  2 \(⋮\) d ⇒ d = { 1; 2}

Nếu d = 2 ta có: 2n + 1  ⋮ 2 ⇒ 1  ⋮ 2 ( vô lý)

Vậy d = 1 nên ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 8n + 6 là 1

Hay phân số: \(\dfrac{2n+1}{8n+6}\) là phân số tối giản điều phải chứng minh

Gọi d=ƯCLN(3n+10;n+3)

=>3n+10-3n-9 chiahết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>PSTG

Gọi \(d\inƯCLN\left(8n+5;6n+4\right)\)

\(\Rightarrow8n+5⋮d;6n+4⋮d\)

\(\Rightarrow3\left(8n+5\right)⋮d;4\left(6n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow24n+15⋮d;24n+16⋮d\)

\(\Rightarrow\left(24n+16\right)-\left(24n+15\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\frac{8n+5}{6n+4}\) tối giản (đpcm)

Gọi d là ƯCLN (3n - 2; 4n - 3) . Nên ta có :

3n - 2 ⋮ d và 4n - 3 ⋮ d

<=> 4(3n - 2) ⋮ d và 3(4n - 3) ⋮ d

<=> 12n - 8 ⋮ d 12n - 9 ⋮ d

=> (12n - 8) - ( 12n - 9) ⋮ d

=> 1 ⋮ d => d = 1

Vì ƯCLN (3n - 2; 4n - 3) = 1 => \(\frac{3n-2}{4n-3}\) tối giản ( đpcm )