a)Xét \(2A=2+2^2+....+2^{2015}\)

nên \(2A-A=2^{2015}-1\)

=>\(A=2^{2015}-1\)

b)Ta có :\(2^5=32\equiv-1\left(mod31\right)\)

=>\(2^{2015}\equiv-1\left(mod31\right)\)

=>\(2^{2015}-1\equiv-2\left(mod31\right)\)(kiểm tra lại đề bài đi bạn)

a,A = 1 + 2 + 2² + 2³ +.... + 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴

2A = 2 + 2² + 2³ + ...... + 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴ + 2²⁰¹⁵

A  = ( 2 + 2² + 2³ + ..... + 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴ + 2²⁰¹⁵ ) - ( 1 + 2 + 2² + 2³ + ..... + 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴ )

A = 2²⁰¹⁵ - 1

b, A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴

       = ( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + .... + ( 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹¹ + 2²⁰¹² + 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴ )

       = 31 + ..... + 2²⁰¹⁰.( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ )

       = 31 + ..... + 2²⁰¹⁰ . 31

       = 31.1 + ..... + 2²⁰¹⁰ . 31

       = 31. ( 1 + .... + 2²⁰¹⁰ ) chia hết cho 31

=> A chia hết cho 31

a)   \(A=1+2+2^2+2^3+....+2^{2014}\)

\(\Leftrightarrow\)\(2A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2015}\)

\(\Leftrightarrow\)\(2A-A=\left(2+2^2+2^3+...+2^{2015}\right)-\left(1+2+2^2+...+2^{2014}\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(A=2^{2015}-1\)

b)    \(A=1+2+2^2+2^3+...+2^{2014}\)

\(=\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8+2^9\right)\)\(+...+\left(2^{2010}+2^{2011}+2^{2012}+2^{2013}+2^{2014}\right)\)

\(=\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)\(+...+2^{2010}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(=\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\left(1+2^5+...+2^{2010}\right)\)

\(=31\left(1+2^5+...+2^{2010}\right)\)  \(⋮31\)

a; A = 1 + 2+ 2² + 2³ +..................+ 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴

 2A = 2+ 2² + 2³ +..................+ 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁵

 2A - A = [ 2+ 2² + 2³ +..................+ 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁵  ]  - [ 1 + 2+ 2² + 2³ +..................+ 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴  ]

   A =    2²⁰¹⁵ - 1

b; A= 1 + 2+ 2² + 2³ +..................+ 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴

     A =   [ 1 + 2+ 2² + 2³ ] + [  2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ ] +[ 2⁸+2⁹+2¹⁰+2¹¹ ]+..................+ [  2²⁰¹¹+ 2²⁰¹²+2²⁰¹³+ 2²⁰¹⁴ ]

    A =  31 + 2³  [1 + 2 +2² + 2³ + 2⁴ ] + 2⁸ [ 1 + 2+ 2² + 2³ ] + ................+  2²⁰¹¹ [ 1 + 2+ 2² + 2³  ]

      A = 31 + 2³ .31 + 2⁸ . 31 +....................+  2²⁰¹¹ . 31

         A = 31 [ 2³ +  2⁸ +..........+ 2²⁰¹¹ ]

           Mà 31 chia hết cho 31 => 31 [ 2³ +  2⁸ +..........+ 2²⁰¹¹ ] chia hết cho 31  hay A chia hết cho 31

                        Vậy bài toán được chứng minh

Lời giải:
a.

$A=2+2^2+2^3+...+2^{100}$

$2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{101}$

$\Rightarrow 2A-A=2^{101}-2$

$\Rightarrow A=2^{101}-2$

b.

Hiển nhiên các số hạng của $A$ đều chẵn nên $A\vdots 2(1)$

Mặt khác:
$A=(2+2^2+2^3+2^4)+(2^5+2^6+2^7+2^8)+....+(2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100})$

$=2(1+2+2^2+2^3)+2^5(1+2+2^2+2^3)+....+2^{97}(1+2+2^2+2^3)$

$=(1+2+2^2+2^3)(2+2^5+...+2^{97})=15(2+2^5+...+2^{97})\vdots 15(2)$

Từ $(1); (2)$ mà $(2,15)=1$ nên $A\vdots (2.15)$ hay $A\vdots 30$

$A=2+(2^2+2^3+2^4)+(2^5+2^6+2^7)+....+(2^{98}+2^{99}+2^{100})$

$=2+2^2(1+2+2^2)+2^5(1+2+2^2)+....+2^{98}(1+2+2^2)$

$=2+(1+2+2^2)(2^2+2^5+...+2^{98})$

$=2+7(2^2+2^5+...+2^{98})$

$\Rightarrow A$ không chia hết cho 7

$\Rightarrow A$ không chia hết cho 14.

Ta có thể viết lại A và B dưới dạng:

A = 29!

B = (58!/29!) / 30

Ta sẽ chứng minh rằng A + B chia hết cho 59 bằng cách chứng minh rằng A ≡ -B (mod 59).

Đầu tiên, ta áp dụng định lý Wilson: (p-1)! ≡ -1 (mod p) nếu p là số nguyên tố. Áp dụng định lý này với p = 59, ta có:

58! ≡ -1 (mod 59)

Ta nhân cả hai vế của phương trình trên với 29!, ta được:

29!(58!) ≡ -29! (mod 59)

Nhưng ta biết rằng 29! ≡ A (mod 59) và (58!/29!) ≡ B (mod 59), do đó ta có:

A * B ≡ -A (mod 59)

Thêm A vào cả hai vế của phương trình, ta được:

A + A * B ≡ 0 (mod 59)

Nhưng ta biết rằng A + B = 29! + (58!/29!) / 30, do đó:

A + B ≡ A + A * B (mod 59)

Vậy ta kết luận được rằng A + B chia hết cho 59.

a, A = 1 + 5 +5² + .. + 5¹¹

A = ( 1+5 ) + ( 5² + 5³) +...+ ( 5¹⁰ + 5¹¹)

A = 6 + 5². 6  + ... + 5¹⁰ .6 

A = 6 . (1+5² + ...+ 5¹⁰ )

=> A \(⋮\) 6 

b, A =  1 + 5 +5² + .. + 5¹¹  

A = ( 1 + 5 +5² ) + ( 5³ + 5⁴ +5^{5 )}  +  ... + ( 5⁹ + 5¹⁰ + 5¹¹)

A= 31 +    31 . 5³+ ... + 31.5⁹ 

A = 31 . ( 1 + 5³ + ... + 5⁹ ) 

=> A\(⋮\) 31 

Mấy bạn làm hộ mình nha , bài khó quá không biết làm thế nào nữa.Xin trân thành cảm ơn nếu các bạn làm chi tiết.

Bài 2: 

Gọi hai số cần tìm là a;a+1

Theo đề, ta có: 

\(\left(a+1\right)^2-a^2=2013\)

=>2a+1=2013

=>2a=2012

hay a=1006

Vậy: hai số cần tìm là 1006 và 1007