Question

cho A=1+2+2^2+2^3+...+2^2013+2^2014

a)tính A

b)CMR:A chia hết cho 31

Answer 1

A =  1 + 2 + 2² + .... + 2²⁰¹⁴ 

Ta có :

a ) 2A = 2 ( 1 + 2 + 2² + .... + 2²⁰¹⁴ )

= 2 + 2² + 2⁴ + ... + 2²⁰¹⁵

2A - A = ( 2 + 2² + 2⁴ + ... + 2²⁰¹⁵ ) - ( 1 + 2 + 2² + .... + 2²⁰¹⁴ )

A = 2²⁰¹⁵ - 1

b ) A = ( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + ( 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ ) + .... + ( 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹¹ + 2²⁰¹² + 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴ )

= ( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + 2⁵( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + .... + 2²⁰¹⁰( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ )

= ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 ) + 2⁵ ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 ) + ... + 2²⁰¹⁰( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 )

= 31 + 2⁵.31 + .... + 31.2²⁰¹⁰

= 31( 1 + 2⁵ + .... + 2²⁰¹⁰ ) chia hết cho 31 ( đpcm )