Bài 76 (trang 41 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho biểu thức
$Q=\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}-\left(1+\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\right): \dfrac{b}{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}}}$ với $a>b>0$.
a) Rút gọn $Q$.
b) Xác định giá trị của $Q$ khi $a=3 b$.
Bài 64 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) $\left(\dfrac{1-a \sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)^{2}=1$ với $a\geq 0$ và $a \neq 1$;
b) $\dfrac{a+b}{b^{2}} \sqrt{\dfrac{a^{2} b^{4}}{a^{2}+2 a b+b^{2}}}=|a| $ với $a+b>0$ và $b \neq 0$.
LG a
(1−a√a1−√a+√a).(1−√a1−a)2=1(1−aa1−a+a).(1−a1−a)2=1 với a≥0a≥0 và a≠1a≠1
Phương pháp giải:
+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.
+ √A2=|A|A2=|A|.
+ |A|=A|A|=A nếu A≥0A≥0,
|A|=−A|A|=−A nếu A<0A<0.
+ Sử dụng các hằng đẳng thức:
a2+2ab+b2=(a+b)2a2+2ab+b2=(a+b)2
a2−b2=(a+b).(a−b)a2−b2=(a+b).(a−b).
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2).
Lời giải chi tiết:
Biến đổi vế trái để được vế phải.
Ta có:
VT=(1−a√a1−√a+√a).(1−√a1−a)2VT=(1−aa1−a+a).(1−a1−a)2
=(1−(√a)31−√a+√a).(1−√a(1−√a)(1+√a))2=(1−(a)31−a+a).(1−a(1−a)(1+a))2
=((1−√a)(1+√a+(√a)2)1−√a+√a).(11+√a)2=((1−a)(1+a+(a)2)1−a+a).(11+a)2
=[(1+√a+(√a)2)+√a].1(1+√a)2=[(1+a+(a)2)+a].1(1+a)2
=[(1+2√a+(√a)2)].1(1+√a)2=[(1+2a+(a)2)].1(1+a)2
=(1+√a)2.1(1+√a)2=1=VP=(1+a)2.1(1+a)2=1=VP.
LG b
a+bb2√a2b4a2+2ab+b2=|a|a+bb2a2b4a2+2ab+b2=|a| với a+b>0a+b>0 và b≠0b≠0
Phương pháp giải:
+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.
+ √A2=|A|A2=|A|.
+ |A|=A|A|=A nếu A≥0A≥0,
|A|=−A|A|=−A nếu A<0A<0.
+ Sử dụng các hằng đẳng thức:
a2+2ab+b2=(a+b)2a2+2ab+b2=(a+b)2
a2−b2=(a+b).(a−b)a2−b2=(a+b).(a−b).
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
VT=a+bb2√a2b4a2+2ab+b2VT=a+bb2a2b4a2+2ab+b2
=a+bb2√(ab2)2(a+b)2=a+bb2(ab2)2(a+b)2
=a+bb2√(ab2)2√(a+b)2=a+bb2(ab2)2(a+b)2
=a+bb2|ab2||a+b|=a+bb2|ab2||a+b|
=a+bb2.|a|b2a+b=|a|=VP=a+bb2.|a|b2a+b=|a|=VP
Vì a+b>0⇒|a+b|=a+ba+b>0⇒|a+b|=a+b.
và làm tiếp.
và , sẽ rút gọn tiếp được kết quả.
; vớiBài 47 (trang 27 SGK Toán 9 Tập 1)
Rút gọn:
a) $\dfrac{2}{x^{2}-y^{2}} \sqrt{\dfrac{3(x+y)^{2}}{2}}$ với $x \ge 0, y \ge 0$ và $x \ne y$ ;
b) $\dfrac{2}{2 a-1} \sqrt{5 a^{2}\left(1-4 a+4 a^{2}\right)}$ với $a>0,5$.
a) Ta có : Vì \(x\ge0\)và \(y\ge0\)nên \(x+y\ge0\)\(\Leftrightarrow\left|x+y\right|=x+y\)
\(\frac{2}{x^2-y^2}\sqrt{\frac{3\left(x+y\right)^2}{2}}\)
\(=\frac{2}{x^2-y^2}\sqrt{\frac{3}{2}.\left(x+y\right)^2}\)
\(=\frac{2}{x^2-y^2}.\sqrt{\frac{3}{2}}.\left|x+y\right|\)
\(=\frac{2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}.\sqrt{\frac{3}{2}}.\left(x+y\right)\)
\(=\frac{2}{x-y}.\sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(=\frac{1}{x-y}.2.\sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(=\frac{1}{x-y}.\sqrt{\frac{2^2.3}{2}}\)
\(=\frac{1}{x-y}.\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{x-y}\)
a, \(\frac{2}{x^2-y^2}\sqrt{\frac{3\left(x+y\right)^2}{2}}=\frac{2}{x^2-y^2}\frac{\sqrt{3}\left|x+y\right|}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3}\left(x+y\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)\sqrt{2}}\)
do \(x\ge0;y\ge0\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}\left(x-y\right)}=\frac{2\sqrt{6}}{2\left(x-y\right)}=\frac{\sqrt{6}}{x-y}\)
b) Ta có :
\(\frac{2}{2a-1}\sqrt{5a^2\left(1-4a+4a^2\right)}\)
\(=\frac{2}{2a-1}\sqrt{5a^2\left(1-2.2a+2^2.a^2\right)}\)
\(=\frac{2}{2a-1}\sqrt{5a^2\left[1^2-2.1.2a+\left(2a\right)^2\right]}\)
\(=\frac{2}{2a-1}\sqrt{5a^2\left(1-2a\right)^2}\)
\(=\frac{2}{2a-1}.\sqrt{5}.\sqrt{a^2}.\sqrt{\left(1-2a\right)^2}\)
\(=\frac{2}{2a-1}\sqrt{5}.\left|a\right|.\left|1-2a\right|\)
Vì a > 0,5 <=> a > 0 <=> | a | = a
Vì a > 0,5 <=> 2a > 2 . 0,5 <=> 2a > 1 hay 1 < 2a
<=> 1 - 2a < 0 <=> | 1 - 2a | = - ( 1 - 2a )
= -1 + 2a = 2a - 1
Thay vào trên ta được :
\(=\frac{2}{2a-1}\sqrt{5}.\left|a\right|.\left|1-2a\right|=\frac{2}{2a-1}\sqrt{5}.a.\left(2a-1\right)=2a\sqrt{5}\)
Vậy : \(\frac{2}{2a-1}\sqrt{5a^2\left(1-4a+4a^2\right)}=2a\sqrt{5}\)
Cho biểu thức :
\(Q=\dfrac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}-\left(1+\dfrac{a}{\sqrt{a^2-b^2}}\right):\dfrac{b}{a-\sqrt{a^2-b^2}}\) với \(a>b>0\)
a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi \(a=3b\)
Cho biểu thức \(P=\left(\dfrac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}+\dfrac{a-b}{\sqrt{a^2-b^2}-a+b}\right).\left(\dfrac{a^2+b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\right)\)với a>b>0
1) Rút gọn biểu thức P
2) Biết a-b=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
bà 1 rút gọn biểu thức :\(\sqrt{9ab}\) + 7\(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) - 5\(\sqrt{\dfrac{b}{a}}\) - 3ab \(\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\)
bài 2 :cho a>0,b>0 chứng minh : \(\dfrac{a^2b}{a-b}\).\(\sqrt{\dfrac{8\left(a^2-2ab+b^2\right)}{75a^4b}}\) = \(\dfrac{2}{15}\) .\(\sqrt{6b}\)
2:
\(VT=\dfrac{a^2b}{a-b}\cdot\dfrac{2\sqrt{2}\left(a-b\right)}{5\sqrt{3}\cdot a^2\sqrt{b}}=\dfrac{2}{15}\cdot\sqrt{6b}=VP\)
1: \(=9\sqrt{ab}+\dfrac{7\sqrt{ab}}{b}-\dfrac{5\sqrt{ab}}{a}-3\sqrt{ab}=\)6căn ab+căn ab(7/b-5/a)
=căn ab(6+7/b-5/a)
Bài 75 (trang 40 SGK Toán 9 Tập 1)
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) $\left(\dfrac{2 \sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}-\dfrac{\sqrt{216}}{3}\right) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{6}}=-1,5$;
b) $\left(\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right): \dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=-2$;
c) $\dfrac{a \sqrt{b}+b \sqrt{a}}{\sqrt{a b}}: \dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=a-b$ với $a, b$ dương và $a \neq b$;
d) $\left(1+\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)=1-a$ với $a \geq 0$ và $a \neq 1$.
a) \(\left(\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}-\dfrac{\sqrt{216}}{3}\right).\dfrac{1}{\sqrt{6}}=\left(\dfrac{\sqrt{6}\left(\sqrt{2}-1\right)}{2\left(\sqrt{2}-1\right)}-\dfrac{\sqrt{216}}{3}\right).\dfrac{1}{\sqrt{6}}=\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}\)
Bài 3:Cho biểu thức B=\(\left(\dfrac{6}{a-1}+\dfrac{10-2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-a-\sqrt{a}+1}\right)\).\(\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{4\sqrt{a}}\)(với a>0 và a khác 1)
a)rút gọn B
b)Đặt C=B.(\(a-\sqrt{a}+1\)).So sánh C và 1
a: Ta có: \(B=\left(\dfrac{6}{a-1}+\dfrac{10-2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-a-\sqrt{a}+1}\right)\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{4\sqrt{a}}\)
\(=\dfrac{6\sqrt{a}-6+10-2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)^2\cdot\left(\sqrt{a}+1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{4\sqrt{a}}\)
\(=\dfrac{4\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\cdot\dfrac{1}{4\sqrt{a}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)
a) \(B=\left(\dfrac{6}{a-1}+\dfrac{10-2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-a-\sqrt{a}+1}\right).\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{4\sqrt{a}}=\left(\dfrac{6}{a-1}+\dfrac{10-2\sqrt{a}}{\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right).\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{4\sqrt{a}}=\dfrac{6\left(\sqrt{a}-1\right)+10-2\sqrt{a}}{\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}.\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{4\sqrt{a}}=\dfrac{4\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)^2\left(\sqrt{a}+1\right)}.\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{4\sqrt{a}}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)
b) \(C=B.\left(a-\sqrt{a}+1\right)=\dfrac{a-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}-1+\dfrac{1}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{\sqrt{a}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}}-1=1\)(bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương)
bài 1
a,tìm đkxđ của x để biểu thức
A=\(\sqrt{2x}+2\sqrt{x+5}\) xác định
b,rút gọn biểu thức B=\(\left(\sqrt{3-1^2}\right)+\dfrac{24-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1}\)
bài 3 cho x ≥ 0,x≠1,x≠9 tìm x biết
\(\left(1-\dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}\right).\left(\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}+\dfrac{2}{\sqrt{x-3}}\right)-2\)
\(1,\\ a,ĐK:\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x+5\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ge0\\ b,Sửa:B=\left(\sqrt{3}-1\right)^2+\dfrac{24-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1}\\ B=4-2\sqrt{3}+\dfrac{2\sqrt{3}\left(\sqrt{2}-1\right)}{\sqrt{2}-1}\\ B=4-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\\ 3,\\ =\left[1-\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{1+\sqrt{x}}\right]\cdot\dfrac{\sqrt{x}-3+2-2\sqrt{x}}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-2\\ =\left(1-\sqrt{x}\right)\cdot\dfrac{-\sqrt{x}-1}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-2\\ =\dfrac{-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}-2=\dfrac{-\sqrt{x}-1-2\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{-3\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-3}\)
Bài 53 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)
Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết biểu thức chữ đều có nghĩa):
a) $\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}$ ; b) $a b \sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2} b^{2}}}$ ;
c) $\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}$ ; d) $\dfrac{a+\sqrt{a b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
LG a
√18(√2−√3)2;18(2−3)2;
Phương pháp giải:
+ √ab=√a.√bab=a.b, với a, b≥0a, b≥0.
+ |a|=a|a|=a, nếu a≥0a≥0
|a|=−a|a|=−a nếu a<0a<0.
+ Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số a, ba, b không âm, ta có:
a<b⇔√a<√ba<b⇔a<b
Lời giải chi tiết:
Ta có:
√18(√2−√3)2=√18.√(√2−√3)218(2−3)2=18.(2−3)2
=√9.2.|√2−√3|=√32.2.|√2−√3|=9.2.|2−3|=32.2.|2−3|
=3√2.|√2−√3|=3√2(√3−√2)=32.|2−3|=32(3−2)
=3√2.3−3(√2)2=32.3−3(2)2
=3√6−3.2=3√6−6=36−3.2=36−6.
(Vì 2<3⇔√2<√3⇔√2−√3<02<3⇔2<3⇔2−3<0
Do đó: |√2−√3|=−(√2−√3)=−√2+√3|2−3|=−(2−3)=−2+3=√3−√2=3−2).
LG b
ab√1+1a2b2ab1+1a2b2
Phương pháp giải:
+ √ab=√a.√bab=a.b, với a, b≥0a, b≥0.
+ √ab=√a√bab=ab, với a≥0, b>0a≥0, b>0.
+ |a|=a|a|=a, nếu a≥0a≥0
|a|=−a|a|=−a nếu a<0a<0.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
ab√1+1a2b2=ab√a2b2a2b2+1a2b2=ab√a2b2+1a2b2ab1+1a2b2=aba2b2a2b2+1a2b2=aba2b2+1a2b2
=ab√a2b2+1√a2b2=ab√a2b2+1√(ab)2=aba2b2+1a2b2=aba2b2+1(ab)2
=ab√a2b2+1|ab|=aba2b2+1|ab|
Nếu ab>0ab>0 thì |ab|=ab|ab|=ab
⇒ab√a2b2+1|ab|=ab√a2b2+1ab=√a2b2+1⇒aba2b2+1|ab|=aba2b2+1ab=a2b2+1.
Nếu ab<0ab<0 thì |ab|=−ab|ab|=−ab
⇒ab√a2b2+1|ab|=ab√a2b2+1−ab=−√a2b2+1⇒aba2b2+1|ab|=aba2b2+1−ab=−a2b2+1.
LG c
√ab3+ab4ab3+ab4
Phương pháp giải:
+ √ab=√a.√bab=a.b, với a, b≥0a, b≥0.
+ √ab=√a√bab=ab, với a≥0, b>0a≥0, b>0.
+ |a|=a|a|=a, nếu a≥0a≥0
|a|=−a|a|=−a nếu a<0a<0.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
√ab3+ab4=√a.bb3.b+ab4=√abb4+ab4ab3+ab4=a.bb3.b+ab4=abb4+ab4
=√ab+ab4=√ab+a√(b2)2=√ab+a|b2|=√ab+ab2=ab+ab4=ab+a(b2)2=ab+a|b2|=ab+ab2.
(Vì b2>0b2>0 với mọi b≠0b≠0 nên |b2|=b2|b2|=b2).
LG d
a+√ab√a+√ba+aba+b
Phương pháp giải:
+ √ab=√a.√bab=a.b, với a, b≥0a, b≥0.
+ √ab=√a√bab=ab, với a≥0, b>0a≥0, b>0.
+ |a|=a|a|=a, nếu a≥0a≥0
|a|=−a|a|=−a nếu a<0a<0.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
a+√ab√a+√b=(√a)2+√a.√b√a+√b=√a(√a+√b)√a+√ba+aba+b=(a)2+a.ba+b=a(a+b)a+b
=√a=a.
Cách khác:
a+√ab√a+√b=(a+√ab)(√a−√b)(√a+√b)(√a−√b)=a√a−a√b+√ab.√a−√ab.√b(√a)2−(√b)2=a√a−a√b+a√b−b√aa−b=a√a−b√aa−b=√a(a−b)a−b=√a
a)
. Rút gọn hơn, ta có kết quả
.
c)
a) \(\sqrt{18\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2}=3\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\sqrt{2}=6-3\sqrt{6}\)
b) \(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2b^2}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{a^2b^2}}=ab.\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}=\sqrt{a^2b^2+1}\)
c) \(\sqrt{\dfrac{a}{b^3}+\dfrac{a}{b^4}}=\sqrt{\dfrac{ab+a}{b^4}}=\dfrac{\sqrt{a\left(b+1\right)}}{b^2}\)
d) \(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\left(a+\sqrt{ab}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}=\dfrac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}+a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{a-b}=\dfrac{\sqrt{a}\left(a-b\right)}{a-b}=\sqrt{a}\)