Hình thì e tự vẽ nha

a)  Dễ dàng c/m đc AEHF là hcn => AH = EF

Áp dụng hệ thức lượng ta có

\(BC^2=\left(BH+CH\right)^2=BH^2+CH^2+2AH.BH\)

\(=BE^2+HE^2+CF^2+HF^2+2AH^2=BE^2+CF^2+2AH^2+\left(HE^2+HF^2\right)\)

\(=BE^2+CF^2+2AH^2+EF^2=BE^2+CF^2+2AH^2+AH^2\)

\(=BE^2+CF^2+3AH^2\)

b)  \(\Delta ABH\)  có  \(BE=\frac{BH^2}{AB}\)  \(\Rightarrow BE^2=\frac{BH^4}{AB^2}\)

Tương tự  \(CF^2=\frac{CH^4}{AC^2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel và BĐT  \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

Do đó  \(BE^2+CF^2=\frac{BH^4}{AB^2}+\frac{CH^4}{AC^2}\ge\frac{\left(BH^2+CH^2\right)^2}{AB^2+AC^2}\ge\frac{\left[\frac{\left(BH+CH\right)^2}{2}\right]^2}{BC^2}=\frac{\left[\frac{BC^2}{2}\right]^2}{BC^2}\)

\(=\frac{\frac{BC^4}{4}}{BC^2}=\frac{BC^2}{4}=\frac{\left(2a\right)^2}{4}=a^2\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow BH=CH\)  hay H là trung điểm BC.

Như vậy AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

=> Tam giác ABC vuông cân tại A.

p/s: làm lụi thôi nha, ko bt đúng ko nữa. Đúng thì cho mk 1 k nha

cảm ơn nha làm lụi nhưng chắc đúng đó

Ta thấy ngay DE = AH do EHDA là hình chữ nhật.

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x và y, khi đó ta có: \(AH=\frac{xy}{2a}\le\frac{x^2+y^2}{4a}=\frac{4a^2}{4a}=a\)

Vậy độ dài lớn nhất của DE là a, khi tam giác ABC vuông cân tại A.

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{HB}{HC}\)(đpcm)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(BD\cdot BA=BH^2\)

\(\Leftrightarrow BD=\dfrac{HB^2}{AB}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(CE\cdot CA=CH^2\)

\(\Leftrightarrow EC=\dfrac{HC^2}{AC}\)

Ta có: \(\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{HB^2}{AB}:\dfrac{HC^2}{AC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{HB^2}{AB}\cdot\dfrac{AC}{HC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\left(\dfrac{HB}{HC}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{EC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^4\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^4}{AC^4}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)(đpcm)

a) Tương tự: https://h.vn/hoi-dap/question/392113.html (1)

EH // AC (cùng _I_ AB)

=> \(\widehat{BHE}=\widehat{HCF}\) (2 góc so le trong)

=> \(\Delta EBH\) ~ \(\Delta FHC\) (g - g)

\(\Rightarrow\frac{EB}{FH}=\frac{EH}{FC}\)

\(\Rightarrow EB\times FC=EH\times FH\)

\(\Rightarrow EB\times FC\times BC=BC\times EH\times FH\) (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

b)

Thay AH = x và BC = 2a vào \(AH^3=BC\times EH\times FH\), ta có:

\(x^3=2a\times EH\times FH\)

\(\Rightarrow FA\times AE=\frac{x^3}{2a}\) (EH = FA và FH = AE)

\(S_{AEF}=\frac{1}{2}\times FA\times AE=\frac{1}{2}\times\frac{x^3}{2a}=\frac{x^3}{4a}\left(\text{đ}v\text{d}t\right)\)

thks bn nha!!!

sao cái (1) xem ko dc vậy bạn @pandora Ann